Re: Meccanica analitica.... help!

From: Adriano Amaricci <amaricci_at_tiscalinet.it>
Date: Fri, 28 Mar 2003 09:57:42 +0100

"Francesco" <francesco.piastra_at_libero.it> ha scritto nel messaggio
news:3qzfa.41899$7y3.1376131_at_twister1.libero.it...
> Sto attualmente studiando i sistemi vincolati e le eq.ni di Lagrange, come
> si passa dalle coordinate normali in R^n a quelle lagrangiane? Cio�, le
"f"
> coord. (qk | k = 1,2,...,f) cosa esprimono in particolare? Quante sono,
pari
> al numero di vincoli (essenziali) o pari al numero di gradi di libert�?

ciao, rispondo a questo perch� mi sembra che nessuno lo abbia fatto. Se
fissi una base E_1,2,3 in IR^3 allora puoi descrivere ogni insieme finito di
punti {1,2,...,N} tramite le loro coordinate rispetto alla base suddetta,
una volta fatto ci� ottieni una configurazione per il sistema.Considera solo
un punto di coordinate x,y,z. In generale non potrai realizzare tutte le
configurazioni possibili poich� esisteranno dei vincoli nello spazio
ambiente. Tali vincoli sono esprimibili implicitamente da equazioni del tipo
F_j(x, y, z)=0 per qualche j=1,2 (quello che stai facendo � di costringere
il sistema ad abitare su di una superficie se j=1 o su delle curve se j=2).
Fissiamo j=1, allora puoi parametrizzare la superficie per mezzo di due
parametri u,v (che apparteranno ad un aperto di IR^2, ci� definisce solo una
paramtrizzazione locale...) ovvero: x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), inoltre se
lo jacobiano di questa trasformazione ha rango massimo allora i vettori del
gradiente definiscono una base dello spazio tangente alla superficie.
Tutto questo non � inutile, poich� la dimensione dello spazio tangente (il
numro massimo di vettori componenti del gradiente lineramente indipendenti)
fornisce immediatamente il numero di gradi di libert� dei punti del sistema
(� questo � ovvio se vuoi: se costringi i punti a stare sulla superficie o
sulla curva allora avrai 2 o 1 gdl!).
Le coordinate u,v (o se j=2 solo u) sono dette coordinate lagrangiane per il
sistema, nel senso che dopo l'introduzione del vincolo tutto quello che ti
serve sapere per descrivere i punti � di conoscere le loro u,v.
La generalizzazione adesso � semplice, ri-considera l'insieme di punti di
cui sopra, siano Q_i i=1,...,N le loro coordinate rispetto alla base.
Introduci dei vincoli con le funzioni F_j(Q_1, ..., Q_N)=0, con j=1,...,M e
M<3N poich� lo spazio ambiente per il sistema lo puoi sempre scegliere come
IR^3N= (P_1)+(P_2)+...+(P_N), con + somma diretta (cio� puoi prendere lo
spazio delle configurazioni come somma diretta delle 3 coordinate che usi
per descrivere i vari punti). Esattamente come prima l'aver introdotto M
vincoli (prima avevi j=1,2<3) costringe il tuo sistema a stare su una
variet� V di dimensione L=3N-M. Sempre in analogia con prima introdurrai una
paratrizzazione locale sulla variet� descritta da L coordinate (locali) tali
che: X=X(q1,...,qL) dove X appartiene a V. Naturalmente la base dello spazio
tangente in X alla variet� V � data dalle componenti del gradiente D_qi(X).
Il sistema ha dunque L gradi di libert� (descritti dalle L coordinate
q1,...,qL)
Come prima le coordinate qi sono le coordinate Lagrangiane per il sistema.
Come vedi l'utilit� di questa costruzione � quella di eliminare
automaticamente le costrizioni dettate dai vincoli cio� eliminano i gradi di
libert� inutili magniati dai vincoli. Hai solo lo stretto necessario per
descrivere il sistema.


saluti, Adriano
Received on Fri Mar 28 2003 - 09:57:42 CET