Re: differenziali

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Fri, 28 Mar 2003 12:44:00 +0100

pol wrote:
...
> (quando sopra dici " Se prendi veramente sul serio gli infinitesimi " ti
> riferisci alle quantit� infinitamnete piccole, giusto?

Si'.
> Cio� non stai neppure
> accennando alle funzioni infinitesime, giusto? Per infinitesimi "attuali"
> cosa si intende?)

Infinitesimi attuali proprio le quantita' infinitamente piccole bandite
dall' analisi standard.
(Rispondero' a parte alle obiezioni di albert).

...
> Ma � lecito affermare comunque che nella notazione
> dy/dx, dx e dy sono due differenziali e nulla di pi�? In fondo questa
> notazione dovrbbe essere nata proprio dalla formulazione dle conceto di
> differenziale: giusto?

La notazione dy/dx risale a Leibnitz e origina dall' approccio mediante
quantita' infinitesime.
Il fatto che poi se ne possa dare una giustificazione in termini di
differenziali non dovrebbe far dimenticare che va deciso se si vuole
fondare il concetto di differenziale su quello di derivata o viceversa.
Tutto sommato a me sembra meglio dal punto di vista didattico definire
la derivata attraverso un limite e poi introdurre il differenziale e
tutte le sue proprieta'.



> >Banalmente perche' non esistono gli infinitesimi (in atto).
> Intendi dire che visto che in analisi standard si ha a che fare solo con
> numeri reali e essendo il differenziale un "oggetto" dell'analiio classica
> deve necessariamente essere "differenziale = numero reale"?

Si'. O per essere pignoli, i valori della funzione "differenziale" sono
numeri reali.

> > Si' ma con la differenza che qui si resta nell' ambito dell' analisi
> > classica. L' approssimazione dell' incremento della funzione con la
> > migliore approssimazione lineare (il differenziale) vale in un intorno.
> > Quanto e' grande (o piccolo) un intorno non e' specificato (ed e'
> > corretto che sia cosi').
> Perch� � giusto?

Questo, dal punto di vista matematico, ha a che fare col concetto
"rigoroso" di intorno (che prescinde da considerazioni di tipo metrico)
e, da un punto di vista piu' "fisico", dal fatto che grande o piccolo
vanno valutati relativamente a qualcosa: per esempio la precisione delle
misure con cui valutiamo incrementi finiti o differenziali.

...
> In ogni modo
> credo che in analisi classica per quanto non vi siano degli "oggetti" in
> grado di esprimere rigorosamente le quantit� infinitamnete piccole e le loro
> propriet�, almeno sul piano dei "concetti" quello di "quantit� pi� piccola
> di qualunque numero piccolo a piacere" sia un concetto sicuramete
> fondamentale (vedi limiti di funzioni): giusto? e come si spaiega che un
> concetto fondamentale non abbia, in analisi standard, un adeguata
> caratterizzazzione formale?

Su questo cerchero' di rispondere nella replica ad albert.

Giorgio

PS Per i moderatori: mi rendo conto che l' argomento sta diventando un
po' OT (i.s.m. sarebbe piu' appropriato). Confido pero' nel fatto che le
incertezze sugli infinitesimi, differenziali & co. sono pane quotidiano
dei fisici piu' che dei matematici ( O no ? ;-) ) per avere ancora
ospitalita' su questo NG.
Received on Fri Mar 28 2003 - 12:44:00 CET