Ciao mi pare che sei stato ancora piu' completo di me...
Elio Fabri wrote:
> Si noti: in tutto questo non e' ancora entrata la metrica, ossia non e'
> stato necessario supporre che la varieta' sia _riemanniana_. Se lo e',
> posso chiedermi se la conn. affine sia _compatibile_ con la metrica:
> cio' vuol dire (un possibile modo di dirlo) che il trasp. parallelo
> _lascia invariato il prodotto scalare_ di due vettori.
> Si dimostra che esiste _una e una sola_ conn. affine compatibile con una
> data metrica: e' quella che si chiama la "connessione di Levi-Civita". I
> suoi coeff. si calcolano a partire dalle derivate delle componenti del
> tensore metrico, con formule che molti conoscono.
>
Solo un appunto per generalizzare solo un poco quello che hai scritto:
per definire le connessioni affini non c'e' bisogno della
richiesta di simmetria dei coefficienti di connessione, cioe' dell'annullarsi
del tensore di torsione. Ovviamente in questo contesto piu' generale
il teorema che citi sopra sulla connessione affine di Levi-Civita necessita,
per l'unicita', che la connessione sia a torsione nulla.
Come saprai nei lavori di Einstein successivi alla relativita' generale
si parla di torsione cioe' di connessione non simmetrica. Einstein
credeva di potere introdurre per questa via il campo elettromagnetico
rappresentato in qualche modo dalla parte antisimmetrica dei coefficienti di
connessione, mentre la parte simmetrica avrebbe dovuto descrivere come
al solito la gravita'. E' noto che non riusci' mai nel suo intento.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Mon Mar 24 2003 - 08:56:19 CET