rez wrote:
> Qualcuno sa dirmi cosa significa: "equazione di evoluzione",
> parlando di una particella materiale in RG?
>
> Piu` precisamente cioe`, puo` dire che significato ha la seguente
> scritta:
>
> (1) dP/dT = K
>
> Essendo P il 4-vettore impulso, T il tempo proprio, K il 4-vettore
> campo esterno.
>
Ha il seguente significato ben noto a chiunque si occupi
un po' di relativita'.
Esamino i termini separatamente e poi insieme.
Nello spaziotempo curvo (porro' ovunque c=1),
dP/dT significa la derivata COVARIANTE (rispetto alla connessione
di Levi-Civita) del quadri impulso rispetto al vettore tangente
alla curva.
In altri termini dP/dT lo ottengo con la seguente procedura:
Fisso un istante O sulla curva in cui voglio calcolare dP/dT
e sia P(O) il quadri impulso in tale istante.
Faccio variare il tempo proprio fino a t. Sia P(t) il quadri impulso
in tale secondo istante. E' chiaro ora che non posso semplicemente
fare la differenza di tali due vettori e dividere per t e poi mandare t
a zero come una superficiale interpretazione di dP/dT potrebbe fare
credere: infatti P(t) e P(O) sono applicati in punti diversi della curva
e devo trovare un modo di trasportarli nello stesso posto per potere fare
la differenza. Se lo spaziotempo fosse quello di Minkowski, (esattamente come
nel piano euclideo della geometria elementare) avrei il concetto di
parallelismo a distanza per cui l'operazione di trasporto di sopra
non servirebbe o meglio sarebbe automatica: metterei in O l'unico vettore
parallelo a P(t) con la stessa lunghezza.
Il fatto che lo spaziotempo ammetta una metrica (e quindi una struttura
matematica da essa generata che si chiama "connessione di Levi-Civita")
mi definisce, tra le altre cose, una nozione di trasporto "parallelo"
lungo le curve che generalizza la nozione di parallelismo a distanza
eccetto per il fatto che ora, il trasporto parallelo ora puo' dipendere
dalla curva che si usa.
Armato della nozione di trasporto parallelo,
trasporto parallelamente P(t), da t a O lungo la curva per ottenere
il vettore P'(t) applicato nello stesso punto di
P(O). A questo punto posso fare la differenza P'(t)-P(O),
dividere per t e mandare t a zero. Il risultato e' per definizione
dP/dT in nel punto individuato da O.
Tutto questo sembra macchinoso, ma c'e' un modo "automatico"
di fare tutto cio' detto operazione di "derivazione covariante"
che calcola, in componenti rispetto ad un qualunque sistema di coordinate
la derivata solita del vettore, con la differenza che il rapporto
incrementale si deve calcolare con la procedura di trasporto detta
sopra. L'operazione di derivata covariante di fatto segue delle leggi
molto simili a quelle della derivazione ordinaria ed ha la
particolarita' che derivando tensori produce tensori (se invece derivi
le componenti usando la procedura solita non ottieni componenti di tensori).
Nello spaziotempo di Minkowski puoi usare la derivata ordinaria purche'
tu faccia uso di coordinate Minkowskiane: il risultato e' lo stesso
che avresti usando la derivata covariante ed e' equivalente a quello
che si ha usando il parallelismo a distanza (la struttura di "spazio affine"
ibn gergo tecnico).
K e' un quadrivettore definito sulla curva detto anche quadriforza.
Se vuoi che l'equazione (1) ammetta una ed una sola soluzione quando sono
fissate condizioni iniziali (punto di inizio e vettore tangente all'istante
iniziale), puoi assumere che K sia una funzione differenziabile con continuita'
del punto sulla curva e della quadrivelocita' (che e` semplicemente il vettore
tangente della curva quando essa e' parametrizzata rispetto al tempo proprio)
K=K(p(T),V(t)). K rappresenta i campi esterni
che interagiscono con la particella descritta dalla linea
di universo detta.
Ricordando che (P,P) = -m^2 dove (,) e' il prodotto scalare lorentziano
(uso la segnatura -+++) e m la massa del punto, si vede che
in generale l'equazione (1) ammette anche trasformazioni di massa.
Questo non accade se e solo se (P,K)=0 in ogni evento raggiunto dalla
curva. In tal caso K e' detto di tipo meccanico.
Infine e' da notare che in caso la massa decresca fino a sparire ad
un certo istante di tempo proprio, da quell'evento in poi non ha
piu' senso la nozione di tempo proprio perche' la curva diventa
di "tipo luce" ed il tempo proprio si definisce solo per curve di tipo
tempo. In tal caso la (1) perde significato e l'interazione con i
campi esterni deve essere descritta in altro modo.
Ciao, Valter
> Lo chiedo perche' spero che si ritrovi anche in testi divulgativi,
> poiche' a me non sembra presentare difficolta` di interpretazione.
>
> In altre parole mi interesserebbe sapere se la (1) e` conosciuta o
> se e` talmente difficile da venir esclusa anche in testi seri, che
> si rivolgono a chi almeno a priori dovrebbe avere una preparazione
> matematica adeguata.
>
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Fri Mar 21 2003 - 14:19:25 CET