alessandro volturno ha scritto:
> ho fatto dei calcoli che sviluppati mi pare portino ad una
> conclusione che trovo alquanto curiosa, per usare un eufemismo
> (sicuramente ho sbagliato qualche passaggio).
>
> guarda qui: https://ibb.co/XDkfXKh
Ho visto. Non riesco a immaginare che pasticcio hai combinato e non
posso divinarlo da quello che leggo.
Comunque risparmiami altri dettagli, che tanto non avrei tempo di
esaminare.
> Il testo dice che l'equazione è una ellisse con centro in O
Certo che è un'ellisse! Mi pareva che ne avessimo già parlato, e dal
calcolo in coord. cartesiane si vede molto più facilmente.
Il tuo compito ora sarebbe di ritrovare l'ellisse dal calcolo in
coord. polari.
Piuttosto chiariamo un po' la terminologia e i concetti.
Se hai le espressioni delle cordinate (cartesiane o polari che siano)
in funzione del tempo, queste collettivamente si chiamamo "legge
oraria".
Se vuoi trovare la curva percorsa dal corpo (che si chiama
"traiettoria", ed è quella che è un'ellisse) devi eliminare il tempo,
ossia trovare un'eq. che leghi r e chi e che si possa riconoscere come
l'eq. di un'ellisse in coord. polari.
Io non ho idea di che calcolo ti sei messo a fare, ma è evidente che
non hai ancora chiaro quanto sopra.
Il problema è puramente matematico: eliminare il tempo tra le due
espressioni di r e di chi in funzione di tau, cha hai già.
Come sempre il problema si semplifica molto se si sa dove si deve
arrivare. Quindi è utile conoscere l'eq. di un'ellisse in coord.
polari.
Questa si trova facilmente partendo dall'eq. cartesiana, che però non
sono sicuro che tu conosca. Tradizionalmente si scrive
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (1)
ma tu hai già impengato b con un altro significato...
Forse ti converrebbe rimpiazzare la tua b con un'altra lettera
qualsiasi, in modo di lasciare l'eq. dell'ellisse nella forma che ti
ho scritto.
Dalla (1) all'eq. polare è un attimo: basta sostituire
x = r cos(chi) y = r sin(chi)
ottenendo
r^2 cos^2(chi)/a^2 + r^2 sin^2(chi)/b^2 = 1. (2)
C'è però un problema: la (1) e la (2) sono scritte assumendo che
l'asse maggiore dell'ellisse stia sull'asse x e l'asse minore sull'asse
y.
Ma tu hai un'ellisse nello spazio: sai solo che sta in un piano dove
le coord. polari sono r e chi (che è uno degli angoli di Eulero).
Ma l'orientamento dell'ellisse in questo piano non è conosciuto
esplicitamente...
Però puoi chiederti a che tempo (a che valore di tau) il corpo passerà
per un vertice dell'asse maggiore.
Sarà ovviamente quando r è massimo, e dall'esperessione di r^2 in
funzione di tau vedi subito che questo accade per tau=0 (oppure per
tau=pi, all'altro estremo.
Vedi anche quanto vale a.
Nasce però un'altra difficoltà.
Hai trovato il calcolo dell'integrale, quindi puoi scrivere una
(complicata) espressione per chi in funzione di tau.
Naturalmente l'espressione conterrà una costante arbitraria, che
andrebbe fissata usando le condizioni iniziali.
Per una scelta generica di queste, troverai sempre un'ellisse, ma il
massimo di r non ti corrisponderà a chi=0: l'ellisse potrà essere
ruotata in modo qualsiasi.
Debbo però aprire una parentesi.
L'espressione che mi hai dato in
https://ibb.co/F0P4qWB non ha senso.
Se parti da
dchi = s dtau/[b/A + sin(c tau)]
dovrai scrivere da ambo le parti degli integrali definiti, con estremo
inferiore che fissi in base alle cond. iniziali, ed estremi superiori
liberi:
int_{chi_0}^chi dchi' = s int_0^tau dtau'/[b/A + sin(c tau')]
chi - chi_0 = s int_0^tau dtau'/[b/A + sin(c tau')]
A secondo membro sostituirai l'espressione che hai trovato per
l'integrale, e a primo membro ti resterà chi-chi_0: chi_0 è appunto la
cond. iniziale, valore di chi all'istante tau=0 (t=t0).
Ci semplifichiamo moltissimo la vita se decidiamo di porre chi_0=0.
Ciò significa che l'asse maggiore dell'ellisse sta sulla retta x' (v.
figura in P&W); ossia che all'istante iniziale il corpo stava
sull'asse x', con velocità diretta come y'.
Questa è una scelta particolare, che però grazie alle singolari
proprietà dell'osc. armonico 3D non è in realtà particolare, ossia è
rappresentativa di tutte le soluzioni possibili.
Ma i problemi non sono finiti qui, e se sarai così perseverante da
voler continuare il calcolo te ne accorgerai subito: nell'espressione
trovata per chi compare una tangente di (c tau/2), e per c tau = pi
ecc. la tangente diventa infinita :-(
Tuttavia è un problema più apparente che reale: per verificare che
l'eliminazione di tau porta a un'ellisse, devi calcolare cos^(chi) e
sin^2(chi).
Se fai il conto, vedi che la tangente sparisce e non ci sono in realtà
infiniti.
Per oggi credo di averti dedicato abbastanza tempo (a essere onesto,
direi anche troppo).
Quindi chiudo qui.
--
Elio Fabri
Received on Sun Jun 13 2021 - 15:25:58 CEST