Re: tensori a lezione....

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 06 Feb 2003 20:32:30 +0100

Daniele ha scritto:
> Incuriosito da questi tensori benedetti a cui ci ha avvicinato la prof di
> geometria dela primo anno di fisica, mi chiedo: cosa e' un tensore? a cosa
> serve, da dove esce fuori, e perche' la prof, sebbene in avanti con gli anni
> ma ancora con la materia grigia funzionante, ci tiene sospesi sul piu' bello?
> Certe volte ha delle uscite spettacolari.......
Fa piacere vedere che secondo te possono esistere persone avanti con gli
anni e con la materia grigia ancora funzionante :)
Non ho visto risposte, per cui provo a darti la mia.

Non so come la prof ha introdotto i tensori. Io direi cosi' (usando
linguaggio matematico): considera due spazi vettoriali a dimensione
finita, V e V', sullo stesso campo K e isomorfi (quindi con la stessa
dimensione). Allora un tensore non e' che un'applicazione lineare da V
in V'.
Ma tu vuoi sapere a che servono, da dove escono fuori... E questa e'
fisica, perche' i tensori sono nati appunto da questioni di fisica.
Purtroppo l'argomento non e' proprio elementare, ma spero non sia troppo
difficile: si tratta della meccanica dei sistemi continui.

Pensa dunque a un corpo solido, liquido, o qualcosa di simile. Immagina
di poter separare il corpo in due parti, A e B, delimitate da una
superficie S. Pensa a una piccola prozione di questa superficie, di area
dS, e chiediti come sara' la forza che A esercita su B *attraverso* dS
(quindi non e' la forza totale: tra A e B si esercita un'azione "a
contatto", su tutta S).
Il modulo di questa forza, che chiamo dF, e' abbastanza naturalmente
proporzionale a dS, ma la cosa piu' importante e' che modulo e direzione
di dF _dipendono dall'orientamento di dS_. Questo orientamento puo'
essere definito assegnando il vettore unitario n, normale a dS, nel
verso che va da A a B.
Allora (ecco il punto centrale!) si puo' dimostrare che dF (vettore)
dipende linearmente da n dS, che e' anche un vettore.
Abbiamo quindi un esempio del concetto astratto di cui sopra: due spazi
vettoriali (quello delle superfici orientate n dS e quello delle forze
dF) tra cui esiste un'applicazione lineare.
E' cosi' definito un tensore T, che si chiama "tensore degli sforzi".

Forse ricordi una cosa che avrai studiata al liceo, e che si chiama
"principio di Pascal": dice che questa forza dF in un punto di un
liquido in quiete e' sempre normale a dS, e ad essa proporzionale,
qualunque ne sia l'orientamento. Si scrive in questo caso dF = p (n dS),
ossia i due vettori dF e n dS _sono paralleli_.
Abbiamo dunque un caso molto semplice di tensore: la moltiplicazione per
uno scalare (che in questo caso e' la pressione).
Ma per casi piu' generali (liquidi in moto, oppure solidi anche in
quiete) questa semplice proporzionalita' non vale, e bisogna ricorrere
ai tensori.

Secondo esempio, piu' semplice da descrivere, e che incontrerai
senz'altro l'anno prossimo.
Considera un corpo rigido in moto. A ogni istante e' definita una
velocita' angolare w, e si puo' definire anche il _momento angolare L
rispetto al centro di massa".
Si dimostra che tra i due vettori c'e' una relazione lineare, per cui
esiste un tensore I (i maiuscola) tale che L = I(w). I si chiama
"tensore d'inerzia".

Potrei fare altri esempi, presi dall'elettromagnetismo, ma forse ho gia'
detto abbastanza.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
Received on Thu Feb 06 2003 - 20:32:30 CET