Problema di regolarizzazione dimensionale

From: corrado <corradodellanoce_at_libero.it>
Date: Thu, 06 Feb 2003 22:12:16 GMT

Salve a Tutti ho la seguente questione da sottoporre, sto studiando
l'effetto Casimir nella configurazione piu' semplice due lastre piane
parallele , il nocciolo del problema e' il calcolo della densita' di
energia tra le due lastre del campo elettromagnetico legata ai modi
vibrazionali permessi , nell'approccio classico al problema si fa una
sottrazzione tra l'energia totale all'interno del volume considerato e
l'energia che ci sarebbe nello stesso volume in assenza delle lastre ,
chiaramente tuttocio' soloformalmente perche' entrambe queste quantita'
prese singolarmente sono infinite , formalmente si scrive

E=Somm(1/2 h(tagliato)w=in terminidi vettore
d'onda=h(tagliato)c/2Somm|k|=definendo la componente parallela alle
lastre con k|| e quella perpendicolare con n(pigreco)/a dove con a
intendiamo la distanza tra le lastree con L la lunghezza del lato delle
lastre quadrate avremo=h(tagliato)c/2integrale L^2 d(2)k||/(2pigreco)^2
[ |k|| | + 2Somm radice quadrata (k||^2 +(npigreco/a)^2)]
per l'energia libera abbiamo invece
E�=h(tagliato)c/2integraleL^2d^2k||/(2pigreco)^2integraledn2radicequadrata(k||^2

+ (npigreco/a)^2) dove inquesto secondo integrale la variabile
d'integrazione n ha solo un carattere formale e puo' assumere valori
reali dato che le lastre non ci sono e la componente longitudinale del
vettore d'onda puo'assumere valori continui
l'utilita' di usare n sta nel fattodi poter usar una formula di
approsimazione dovuta ad Eulero quando si va a calcolare E-E� inoltre
all'interno degli integrali va messa una funzione ditroncamento per
rimuovere la divergenza ultravioletta (regolarizzazione non gauge
invariante) , ho trovato un'articolo che tratta il problema in modo
moderno con una regolarizzazione dimensionale l'autore ipotizza che la
dimensione dello spazio dei modi trasversali sia d e che l'energia
rispetto al ground-state sia
E-E�=h(tagliato)c/2Somm integrale d^2k||/(2pigreco)^2 radice quadrata
(k||^2 + (npigreco/a)^2) chiaramente questa e' l'espressione prima
della regolarizzazione i calcoli che seguono mi sono chiari , si
introduce la rappresentazione a tempo proprio di Schwinger per la radice

quadrata e con l'uso della funzione gamma e zeta di Eulero si perviene
al risultato facendo tendere la dimensione a 2 le questioni che voglio
porvi sono due e di principio : primo che fine ha fatto il termine[
integrale dn radice quadrata (.... +(npigreco/a)^2) ? A me sembra che
nella sottrazzione siano stati completamente trascurati i modi liberi
longitudinali.
Secondo perche' il risultato delcalcolo risulta finito? La risposta che
mi sono dato e' che aver scambiato la sommatoria con l'integrale abbia
introdotto implicitamente una frequenza di taglio avendosupposto
l'assoluta convergenza della serie e' giusto?

Grazie per la vostra attenzione !


Saluti Corrado
Received on Thu Feb 06 2003 - 23:12:16 CET