Re: Modi normali: pulsazioni con molteplicita' >1

From: Andrea Barontini <baro77_at_gmail.com>
Date: Tue, 28 Dec 2010 15:53:33 +0100

Elio Fabri ha scritto:
> Andrea Barontini ha scritto:
>>
>> - avete un esempio di sistema fisico (magari meccanico in 3 dimensioni
>> ;-P tanto per provare a rimanere su qualcosa di abbastanza intuitivo)
>> in cui si ha una molteplicita' >1 ?
> Questo l'avrei chiesto a te :-)
> L'esempio e' talmente ovvio, che mi meraviglio non ti sia venuto in
> mente.

Io voto per dare la colpa a noci, fichi secchi e spumante! ;-)

> Considera un osc. armonico 2D isotropo, ossia un punto materiale che
> si muove su un piano, con energia potenziale
> V(x,y) = k*(x^2 + y^2)/2.
>
> Facile verificare che avrai proprio una radice con molteplicita' 2.
> Avrai quindi due autovettori indipendenti, che puoi scegliere in
> infiniti modi.
> Pensa a quale sara' il piu' generale moto di quel punto, a come dovrai
> descriverlo a seconda dei modi normali che scegli.

Fatto.
In questo caso il vettore A_js puo' essere un qualsiasi vettore di R^2,
o meglio di C^2.

Deduco quindi che per molteplicita' > 1 il sistema non riesce a fissare
univocamente la direzione del modo, ma solo il piano in cui giace tale
direzione quando la molteplicita' e' 2, o "addirittura" il volume nel
quale e' contenuta la direzione quando e' 3, e cosi' via....

Per quanto riguarda l'isolare la parte immaginaria in un coefficiente
"fuori" da A_js (la parte immaginaria ora non e' piu' in generale lin.
dipendente dalla parte reale del vettore vista la dimensione dello
spazio) direi questo:
per pulsazioni con molteplicita > 1 avro' sempre la possibilita' di
specificare almeno due componenti nello sviluppo in modi (di fatto
scelgo una base rispetto alla quale scomporre il mio A_js complesso
"qualunque"), e a quel punto posso in generale sfruttare la cosa per
avere uno dei componenti con vettore direzione uguale alla parte reale
di A_js, e l'altro con vettore direzione uguale alla parte immaginaria,
che pero' sara' ancora una volta un vettore reale moltiplicato per un
coefficiente immaginario "i".


Con un minimo di matematica:


molteplicita' w_s = 2 => vettore A_js = R + i I appartenente a un
sottospazio vettoriale complesso di dimensione 2 (proprio C^2 se
partivamo da un sistema con 2 gradi di liberta')

(dove ovviamente R e I sono le parti reale e immaginaria di A_js).
Quindi quando andro' a sviluppare in modi normali nel dominio del tempo
avro':


|C1_s|*R*cos(w_s t + arg[C1_s]) + |C2_s|*I*cos(w_s t + arg[C2_s] + pi/2)


che ovviamente e' una procedura che funzionera' anche per
molteplicita'>2 (semplicemente avro' piu' possibilita' nella scelta
della scomposizione del vettore, ma la "furbata" sara' sempre avere uno
dei vettori di base nella direzione della parte immaginaria del vettore
A_js originario).



Corretto?


Grazie
Saluti
Andrea Barontini
Received on Tue Dec 28 2010 - 15:53:33 CET