Re: dubbio su SU(2)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 15 Jan 2003 21:36:15 +0100

evolution ha scritto:
> Vero, ma quel che volevo dire e' che sono tutti multipli di uno
> e di un'altro. Oppure non sono multipli affatto di nulla. Pero'
> queste tre situazioni di arrivo non sono intercambiambili con
> continuita'.
Non sono *tre* situazioni: in ZxZ ci sono le coppie ordinate di interi:
(m,n).
A ogni coppia corrisponde *una* classe di omotopia distinta.

> Penso che sia la stessa cosa. Se si guardano le orbite l'indice dipende
> dal numero di giri, se si guardano le traiettorie le due facce di una
> superfice non sono distinguibili.
Ho paura che non ci siamo capiti, forse perche' ho parlato di circ.
grande e piccola, che non e' un bel modo di esprimersi.
Per metterla in un modo un po' piu' preciso, vediamo il toro come un
rettangolo coi lati opposti identificati, per cui quando esci dal lato
destro rientri dal sinistro, ecc.
Allora il rappresentativo della classe di omotopia (m,n) e' un cammino
che attraversa m volte i lati verticali e n volte quelli orizzontali,
sempre andando da sinistra a destra e dal basso in alto (in altre
parole, con x e y sempre crescenti).

> Capisco, pero' in linea di principio dovrei ottenere
> la stessa struttura topologica. Anche se non sembra cosi'
> evidente. Dovrebbe esserci qualche teorema che lo garantisce.
Certo che ottieni sempre la stessa, dato che e' caratteristica della
varieta', non delle coordinate che usi.
Il problema e' che ogni sistema di coordinate ha i suoi ... capricci, di
cui bisogna tener conto.
Per es. con gli angoli di Eulero succede che per theta=0, degli altri
due angoli conta solo la somma.
In realta' il modo giusto di fare e' di precisare le carte a cui ciascun
sistema di coordinate si applica: in genere non puoi usare un unico
sistema di coord. per l'intera varieta'.
Onestamente non so quant'e' il numero minimo di carte necessarie per
SO(3).

> ahh, ma allora in che senso si dice che si puo' distinguere, cioe'
> la fase e' osservabile ma non e' un osservabile? Oppure occorre
> un livello di osservazione in cui la fase entra in gioco in modo relativo
> andando a costruire degli osservabili? Boh?
La fase di un vettore di stato preso a se' *non e' osservabile*. Ma se
tu riesci a fare la sovrapposizione di due stati (come ad es. in un
interferometro) e hai modo di cambiare la fase di uno solo dei due,
allora il cambiamento *e* osservabile.

> Ok, capisco, ma non capisco. In pratica per distinguere fra destra e sinistra
> occorre distinguere rispetto a qualcosa. Ed e' per quello, perche' noi distinguiamo
> fra destra e sinistra che il gruppo che studiamo e' SO(3). Il gruppo O(3) e'
> in qualche modo meno naturale del gruppo SO(3). Cioe' contiene ed implementa
> simmetrie che non sperimentiamo quotidianamente. Spero di essermi spiegato.
Veramente no, o meglio: a me pare l'opposto.
Esistono operazioni di simmetria che non alterano l'orientamento (le
rotazioni) e queste formano SO(3).
Ma sono anche possibili operazioni che invertono l'orientamento
(riflessioni ecc.). Perche' dici che non le sperimentiamo? Possiamo
benissimo costruire oggetti, e volendo anche meccanismi, che sono uno
copia speculare dell'altro, e possiamo guardare come si comportano...

>> Invece SO(3) e' connesso.
>> La non-( semplice connessione) e' una proprieta' piu' sottile...
> Perche' questi puntini di sospensione? Si tratta forse di un'allusione
> al fatto che ha qualche relazione con l'orientabilita' delle superfici?
No. Volevo solo indicare che quello e' l'inizio di un discorso non
banale e non breve.
Non vedo proprio nessuna relazione con l'orientabiita'.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Wed Jan 15 2003 - 21:36:15 CET