Il 11/08/2021 21:07, Elio Fabri ha scritto:
...
> "Assumiamo un solido omogeneo e isotropo, immerso in un fluido. In
> condizioni statiche e assenza di gravità, quindi con pressione costante
> nello spazio e nel tempo.
> Ciò posto, nel limite elastico (vulgo, legge di Hooke) si può asserire
> che la deformazione del solido è uniforme, ossia che il solido cambia
> la sua forma solo per similitudine, e che il tensore degli sforzi al
> suo interno è omogeneo e isotropo?
...
Io al massimo arrivo a verificare che la soluzione ipotizzata
soddisfi a tutte le condizioni esplicitate nel LL, non che
sia unica. Nel seguito uso le convenzioni di LL con
riferimento all'ed. italiana.
Sia p la pressione esterna, _ipotizzo_ come soluzione
per il tensore degli sforzi (delta_ik = delta di Kronecker)
(2.5) sigma_ik = -p delta_ik,
che soddisfa alle condizioni al contorno all'equilibrio
(2.8) sigma_ik n_k = -p n_i = P_i
dando appunto un vettore (densità superficiale di) forza esterna
diretto perpendicolarmente verso la superficie e di modulo uniforme,
come da ipotesi.
Nelle ipotesi di isotropia ed elasticità, si ricava il tensore
di deformazione dalla legge di Hooke (K = modulo di compressione
uniforme, e in questo caso 1/K = compressibilità isoterma):
(4.8) u_ik = -p / (3K) delta_ik,
allora per la definizione
(1.5) u_ik = 1/2 (_at_u_i/_at_x_k + @u_k/_at_x_i)
_ipotizzo_ una soluzione per il vettore di deformazione
u_i = -p / (3K) x_i
(con x_i coordinata i-esima del raggio vettore del dato punto
del corpo indeformato, avendo scelto come origine degli assi
cartesiani quelli del punto che sia rimasto invariato nella
deformazione) che soddisfa alle 2 eq.i precedenti e corrisponde
a una deformazione uniforme (per similitudine) del solido.
La condizione di equilibrio per sigma_ik (2.6) è verificata,
così come le condizioni di equilibrio (7.4), (7.6) e (7.7).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
Received on Sun Aug 15 2021 - 11:00:05 CEST