Re: Nuntio vobis gaudium magnum!

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 10 Jan 2013 15:54:16 +0100

Elio Fabri ha spiegato il 06/01/2013 :
> Scrivevo:
>> Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2,
>> formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe
>> affermativa, mentre secondo il Jackson, che tratta il problema molto
>> pi� a fondo, si direbbe il contrario.
> Ora credo di aver ricostruito l'origjne dell'errore nel Landau.
> Mi piacerebbe che qualcuno controllasse, e perci� riassumo qui sotto
> il ragionamento di LL, come l'ho capito.

In un post del 3 Gennaio ho proposto in effetti un'interpretazione
qualitativamente analoga. Scrivevo infatti che a mio parere nel limite
considerato lo sviluppo per i campi di radiazione � formalmente
corretto e coincide con le rispettive formule approssimate proposte da
Jackson (nel mio testo subito dopo le formule esatte e nel capitolo 16,
ma anche in precedenza, nel capitolo 9 in un paragrafo, 9.3 dedicato
all'argomento in cui mostra manipolazioni identiche a quelle poste in
essere da Landau, sebbene argomentate diversamente)

[...]

> Il vero problema nasce per� al �71, dove si trova l'espressione dei
> campi all'ordine successivo (formule (71.4)).
> Queste in s� sono giuste, ma i guai spuntano subito dopo, quando LL
> usano quelle espressioni per calcolare l'energia irraggiata, integrata
> su tutto l'angolo solido.

esattamente, facevo infatti l'esempio dello sviluppo:

(1+x)^4 = (1+x)^2 + (1+x)^2 = (1+2x + o(x^2))(1+2x + o(x^2)) =

(1+4x+4x^2 + o(x^2)) nella fattispecie lo sviluppo corretto �
(1+4x+6x^2+o(x^3)) e trascurando il termine o(x^2) si incorre in
errore, bisogna andare a verificare con qualche puntiglio in cosa
consistono i termini sottaciuti.

> Dalla (66.6) si ha che l'intensit� in una data direzione � prop. a H^2,
> quindi occorre mediare H^2 su tutte le direzioni. LL scrivono:
> "In averaging the square of the magnetic field, all cross-products of
> the three terms in H vanish, so that remain only the mean squares of
> the three."
> E da qui ottengono la (71.5) incriminata...
>
> Dov'� l'errore? Basta osservare che nella (71.4) per H compaiono il
> termine di dipolo elettrico, che va come ka, e poi quadrupolo
> elettrico e dipolo magnetico che vanno come (ka)^2.
> Nella (71.5) l'energia irraggiata contiene un primo termine che va come
> (ka)^2 e i due successivi che vanno come (ka)^4.
> Ma se vogliamo l'energia fino al quarto ordine, dobbiamo prendere i
> campi fino al terzo, perch� quadrando il doppio prodotto tra primo
> ordine e terzo ordine si ha un quarto ordine *che non si annulla*.

esattamente.

> Infatti il contributo al terzo ordine nei campi viene anche dal dipolo
> elettrico (inteso come l=1) che *non � ortogonale* a quello di primo
> ordine.
> Bisognava quindi prolungare lo sviluppo (71.3) e quindi (71.4) con un
> ulteriore termine...
>
> Che ne dite?

Dico che qualitativamente sono d'accordo per� quantitativamente non ho
ancora visto i termini ulteriori ed il risultato generale corretto, n�
l'ho confrontato con l'espressione generale di Jackson. Per� questa
possibile "svista" di Landau l'avevo notata gi� nel '92 preparando
fisica II solo che non ero sicuro, infatti avevo cercato delle formule
pi� precise, ma di quello che scriveva Jackson all'epoca non avevo
capito pressoch� nulla.

Torno a fare qui una domanda che avevo proposto gi� nel post del 3
Gennaio: ma nel tuo pdf come mai compare solo a_E e non vedo traccia di
a_M ?

Received on Thu Jan 10 2013 - 15:54:16 CET