Re: dubbio su SU(2)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 04 Jan 2003 19:56:56 +0100

Evolution ha scritto:
> Ho seguito l'esempio, ed ho pero' ancora poco chiaro come a queste
> trasformazioni si possa associare un cammino in SO(3).
Anch'io... :)

> Quel che mi sembra chiaro e' che SO(3) ha una struttura piu'
> semplice di un toro, ma anche su questo ho difficolt� di visualizzazione.
> A me sembra infatti che sul toro possano essere tracciati tre tipi
> di cammini che non sono riducibili uno all'altro.
Altro che 3... Sono infiniti!
Infatti puoi fare un qualunque numero di giri, in entrambi i versi,
lungo la circonferenza piccola; altrettanto lungo la circ. grande. E
puoi anche comporre i due tipi di cammini...
Il primo gruppo di omotopia di un toro e' ZxZ.

> Mentre SO(3) supporterebbe
> due soli tipi di cammini. D'altra parte nulla mi vieta di pensare SO(3) parametrizzato
> dagli angoli di Eulero. Ora non riesco a "vedere" se l'insieme dei parametri,
> dopo aver fatto tutte le identificazioni fra quegli insiemi di angoli che corrispondono
> alla medesima rotazione, descriva un volume immerso in R^3 o in dimensione
> superiore. Mi sembra gia' tanto essermi reso conto che SU(2) e' semplicemente
> connesso.
In effetti gli angoli di Eulero non sono la parametrizziazione piu'
utile a questo scopo.
Procedi invece cosi': ogni elemento di SO(3) e' una rotazione, che ha un
asse. Puoi prendere questo asse come retta orientata, con la convenzione
che farai sempre una rotazione di angolo <= pi in senso antiorario (se
servisse una rotazione di angolo maggiore di pi, la puoi ottenere con un
angolo minore di pi attorno all'asse orientato in verso opposto).
Cio' fatto, hai una corrispondenza biunivoca e continua tra gli elementi
del gruppo e i punti di una palla di raggio pi: ogni punto lo ottieni
spostandoti dall'origine nel verso dell'asse di rotazione, di una
lunghezza pari all'angolo di quella rotazione.
C'e' solo un'eccezione (ed e' tutto il trucco!): i punti diametralmente
opposti del bordo della palla *corrispondono alla stessa rotazione*,
quindi vanno identificati.

Allora puoi vedere perche' SO(3) non e' semplicemente connesso:
costruisci una curva che parte dal centro O, arriva al bordo in un punto
A, rientra dal punto opposto A' e torna nel centro. Questa e' una curva
chiusa, ma non la puoi ridurre a un punto, perche' non puoi "staccarti"
dal bordo.
Invece una curva che fa due giri: da O ad A, rientrando da A' torna a B
sul bordo, da B' va in O, puo' essere ridotta a un punto, perche' puoi
far coincidere con continuita' A' con B e quindi B' con A: cio' ti
permette di staccarti dal bordo.
Questo dimostra che ci sono due sole classi di omotopia, e il gruppo di
omotopia ha due soli elementi (ecco perche' le rappr. a due valori).

Incidentalmente, si puo' fare una parametrizzazione assai simile per
SU(2): viene una palla di raggio 2pi, ma in questo caso tutti i punti
del bordo vanno identificati. La puoi anche vedere come una sfera S^3 in
4 dimensioni, ma e' meno facile visualizzarla...

> Il passo avanti e' questo: come mai degli oggetti nello spazio E^3
> non abbiamo la percezione che possano essere cambiati da una rotazione di
> un angolo giro, mentre questo puo' verificarsi con oggetti quantistici?
Attento: neppure un oggetto quantistico e' cambiato da tale rotazione:
il vettore di stato cambia segno (per spin semintero) ma lo stato torna
lo stesso).
Devi fare cose piu' complicate, come una sovrapposizione di stati nella
quale ruoti uno degli stati e l'altro no, per vedere qualcosa.

> ... A me personalmente poi rimane
> ancora un'altra fisima: ma questo fatto che SU(2) e' semplicemente connesso
> ha a che fare forse col fatto che in 4 dimensioni non e' possibile
> distinguere fra terne destre e terne sinistre?
Non direi. La distinzione terna destra/terna sinistra prova che O(3) non
e' connesso (per archi): non puoi passare con continuita' da una matrice
con det. +1 a una con det. -1.
Invece SO(3) e' connesso.
La non-( semplice connessione) e' una proprieta' piu' sottile...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sat Jan 04 2003 - 19:56:56 CET