Re: dubbio su SU(2)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 01 Jan 2003 20:06:41 +0100

slacky ha scritto:
> ...
> Nel nostro caso, per "ridurmi" all'identita' devo "uscire" dal gruppo(le
> traslazioni non sono rotazioni).
> Si puo' considerare anziche' il gruppo delle rotazioni il gruppo delle
> rototraslazioni e con la tua costruzione abbiamo dimostrato, secondo me,
> che questo gruppo non e' semplicemente connesso. Penso che da questo
> segua che il grupo SO(3) non e' semplicemente connesso per come agisce
> il gruppo delle rototraslazioni su un generico elemento e per la
> semplice connessione del sottogruppo delle traslazioni.
> Sto parlando ad occhio(non ho scritto niente)....sto prendendo un abbaglio?
Confesso che non ho mai studiato la questione, ne' ho mai trovato niente
in proposito (il che non esclude che sia cosa arcinota...).
Quindi improvviso...
Possiamo pensare al gruppo E^3 (quello che tu chiami gruppo delle
rototraslazioni). Ma mi pare che la cosa sia un po' piu' complicata:
forse e' un problema di topologia algebrica.
A dire il vero, non sono neppure sicuro che il giochino dimostri
qualcosa su SO(3). Vediamolo infatti in questo modo.
Tengo fermi i due dischi, coassiali e paralleli. Posso muovere solo il
nastro, e vedo che la sua torsione puo' cambiare per un numero pari di
giri a piacere.
Questo dimostra, viceversa, che se faccio ruotare uno dei dischi attorno
all'asse comune, di un numero pari di giri, la torsione prodotta nel
nastro puo' poi essere disfatta *senza muovere i dischi*.
Sembra dunque che non c'entrino ne' SO(3) ne' il gruppo euclideo; al
piu' SO(2), che ha primo gruppo di omotopia isomorfo a Z...
Forse bisognera' porre la questione in ism.

> Altri giochini simpatici da suggerire? hai in mente qualche lettura?
Non saprei. Mi pare di ricordare che quel gioco lo trovai su "Scientific
American", molti molti anni fa, nei "giochi matematici", naturalmente
senza spiegazione seria.
Lo trovai divertente e lo presentai molte volte a lezione. Non ho mai
saputo cosa ne pensassero gli studenti :)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Wed Jan 01 2003 - 20:06:41 CET