Re: dubbio su SU(2)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 26 Dec 2002 20:42:32 +0100

bastian ha scritto:
> Ho le idee un po' confuse su SU(2):da una parte e' definito come il gruppo
> associato all'algebra del momento angolare;dall'altra come il gruppo delle
> matrici 2X2 unitarie e di determinante 1:come si conciliano queste due cose
> dato che gia' per j=1 le matrici che rappresentano gli operatori di momento
> angolare sono 3X3 ?
In effetti qui entrano in ballo diversi concetti distinti: algebra di
Lie in astratto, algebra di Lie di un gruppo, definizione astratta o
concreta di un gruppo, omomorfismo tra gruppi, rappresentazioni...
Vediamo.
Se definisci l'algebra partendo dagli operatori di momento angolare, hai
un'algebra di Lie astratta (definita solo dalla relazioni di
commutazione).
Poi ti puoi chiedere: un'algebra di Lie definisce un gruppo? La risposta
e' che il gruppo non e' sempre unico. Lo e' se aggiungi il requisito che
sia semplicemente connesso.
Nel caso in questione viene fuori SU(2), che naturalmente puo' essere
definito per suo conto, per es. come hai detto. Nota che la definizione
di SU(2) mediante matrici unitarie 2x2 ecc. e' astratta nel senso che la
usi solo per ricavare le proprieta' del gruppo.
Pero' esiste un altro gruppo che ha la stessa algebra di Lie: e' SO(3)
(matrici reali ortogonali a det. = 1). SO(3) e' connesso, ma non
semplicemente connesso. E' localmente isomorfo a SU(2), ma tra i due
esiste una relazione 2 a uno: un omomorfismo che manda due elementi di
SU(2) in uno stesso elemento di SO(3).

Quanto alle rappresentazioni, queste detto in breve non sono che gruppi
di matrici in relazione di omomorfismo col gruppo dato. Dal momento che
SU(2) ha un solo sottogruppo invariante, con due soli elementi (I e -I),
per una rappr. ci sono due sole possibilita':
a) e' isomorfa, ossia fedele
b) e' omomorfa, ossia non fedele, ma isomorfa a SO(3).
Le rappr. (irriducibili) di SU(2) sono classificate dal numero j (2j
intero) da 0 in poi; la rappr. j ha dimensione 2j+1.
Le rappr. con j intero non sono fedeli, le altre lo sono.
Ecco spiegato il perche' dell'ultima domanda: j=1 significa matrici 3x3.

Nota che SO(3) e' il gruppo delle rotazioni nello spazio 3-dim., e
naturalmente una rotazione di 360 gradi coincide con l'identita'. Pero'
l'omomrfismo con SU(2) causa uno scherzo: se consideri gli elementi di
SU(2) che corrispondono a rotazioni di angolo via via crescente da 0 a
2pi, trovi matrici 2x2 che partono dall'identita' e finiscono con -I.
Ossia: un percorso chiuso in SO(3) non corrisponde a un percorso chiuso
in SU(2).
Questo ha a che fare col fatto ben noto che in un sistema di momento
angolare semiintero, il vettore di stato dopo una rotazione di 2pi non
ritorna identico, ma cambia di segno.

Spero di non averti confuso ulteriormente le idee :)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Thu Dec 26 2002 - 20:42:32 CET