Re: Modi normali: pulsazioni con molteplicita' >1

From: Andrea Barontini <baro77_at_gmail.com>
Date: Tue, 04 Jan 2011 15:46:59 +0100

Elio Fabri ha scritto:
> Andrea Barontini ha scritto:
>> In questo caso il vettore A_js puo' essere un qualsiasi vettore di R^2,
>> o meglio di C^2.
>> ...
>> Corretto?
> Confessoi che non sono riuscito a seguirti...
> Puo' darsi che tu abbia scritto tutte cose giuste, ma io avrei fatto
> tutto un altro discorso.
>

in effetti ho fatto un'analisi delle soluzioni del sistema omogeneo che
scaturisce dalle piccole oscillazioni dell'oscillatore armonico 2D
isotropo che mi hai proposto: nel punto stazionario (l'origine) il
sistema finisce per essere una matrice nulla moltiplicata per A_js, il
tutto posto uguale a un vettore nullo (sistema omogeneo), e quindi ha
soluzione per ogni A_js appartenente a C^2.
Probabilmente un approccio che non mi e' riuscito di descrivere in
maniera sufficientemente intelleggibile via mail.


> Avrei cominciato con l'osservare quali sono i moti possibili, a
> seconda delle condizioni iniziali.
> La traiettoria sara' in generale un'ellisse, che potra' degenerare in
> un segmento, oppure diventare una circonf.
> Assi dell'ellisse (in grandezza e direzione) e fase temporale del moto
> lungo l'ellisse sono liberi, come pure il verso di percorrenza.
> Ma tutti questi moti si ottengono sempre come composizione di due
> soluzioni particolari, comunque scelte.
>

Bene, sono contento, mi sembra che tutto questo sia in linea con
"l'analisi" algebrica che ho fatto io:
sara' un segmento quando parte reale e immaginaria di A_js saranno
linearmente dipendenti, un'ellisse/circonferenza altrimenti.
E cio' che' e' intriseco e' il sottospazio di dimensione 2 in cui la
traiettoria di oscillazione puo' "stare".


> Per es. puoi prendere due moti armonici lungo due direzioni diverse:
> avrai la liberta' di scegliere ampiezze e fasi dei due moti, che sono i
> 4 parametri che corrispondono ai due coeff. complessi dei due
> autovettori (complessi) che puoi combinare linearmente.

Ok, e' proprio quello che cercavo di scrivere quando parlavo di sviluppo
in modi normali in relazione al desiderio di isolare il contributo
immaginario in un coefficiente scalare.


> Ancora piu' in particolare, puoi prendere moti armonici lungo x e
> lungo y.
>
> Ma puoi anche (per es.) partire da due moti circolari, uno orario e
> l'altro antiorario: anche qui hai libere ampiegge (raggi) e fasi,
> cioe' di nuovo 4 parametri.
>
> Domanda: quali sono gli Ajs corrispondenti ai moti circolari che ho
> detto?
>
>

Moto circolare anti-orario: A_js = C_1 * (1, -i)
Moto circolare orario: A_js = C_2 * (1, i)

con C_1 e C_2 complessi.



Grazie!
Andrea Barontini
Received on Tue Jan 04 2011 - 15:46:59 CET