Il problema � quello famoso del sasso e della barca:
buttando un sasso da una barca in acqua , il livello di quest' ultima
sale, scende o resta invariato?
Risposta canonica:il livello � pi� alto con il sasso a bordo che sul
fondo, perch� nel primo caso esso sposta un numero di litri d' acqua pari
al suo peso in kg, mentre nel secondo ne sposta tanti quanti ne occupa. E
siccome con sasso si intende una cosa che non galleggia, cio� con peso
specifico maggiore di uno, la seconda quantit� � minore della prima.
Dunque, il punto � che l' indovinello parla di livelli dell' acqua,
mentre la soluzione proposta parla di volumi spostati. Giocando sulla
sagoma della barchetta si pu� creare una discrepanza tra le due cose.
Esempio concreto:
Per semplificare al massimo, suppongo che sia la piscina che la barca
siano cubi, di lato rispettivamente L e l.
A piscina vuota del tutto, segno con un pennarello il livello dell' acqua.
Questo sar� il mio zero.
Ora metto in acqua la barca con il sasso a bordo.
Si verificano due effetti:
1) Il fondo della barca scende di un tratto d rispetto allo zero.
2) Il pelo dell' acqua sale di un tratto D rispetto allo zero.
La legge di archimede dice che il volume della porzione di barca compresa
tra lo zero e il livello (-d) a cui � scesa deve eguagliare il volume di
acqua (FUORI dalla barca) compreso tra zero e D.
Suppongo, per mera comodit� di calcolo, che d=l/2 e D=l/4, ossia che alla
fine la barca sia per 3/4 sommersa.
Questa assunzione non pregiudica nulla a livello concettuale, perch� ho un
sacco di parametri su cui giocare per realizzarla (peso del sasso e della
barca, ad esempio).
Ora prendo una seconda barca fatta cos�:
-ha esattamente lo stesso peso di quella precedente
-la met� pi� in basso � identica a prima, mentre la met� pi� alta ha
sezione pi� stretta, per esempio � un cubo di lato l/2.
Faccio un disegnino ASCII della veduta da poppa/prua/tribordo/babordo che
tanto � sempre la stessa cosa:
| |
__| |__
| |
|_______|
(abbiate piet�)
E metto in acqua il sasso a bordo di quest' altra barca.
E' evidente che,come prima, lo zero si trova esattamente a met� altezza
della barca, perch� la quantit� d rimane invariata rispetto a prima: il
volume spostato dipende solo dal peso di barca+sasso.
Questo stesso volume deve disporsi sopra lo zero nella superficie compresa
tra il bordo della piscina e il bordo della barca, superficie che ora �
maggiore di prima.
Quindi D � minore rispetto a prima.
Invece quando butto a fondo il sasso non importa da quale di queste due
barche lo faccia: alla fine il pelo dell' acqua sar� sopra lo zero della
stessa quantit�.
E' intuitivo che si pu� rendere ampio quanto si vuole lo scarto tra le due
d ottenute con le due barche diverse.
Insomma, con una barchetta fatta come quella nel disegnino posso ribaltare
la risposta del quesito: acqua pi� alta con il sasso a fondo che a bordo.
Se non vi fidate il rapporto tra i due innalzamenti mi risulta essere,
conti alla mano:
(k + 1/x) * (3 + x) / [4 * (1+p)]
dove k � il rapporto tra il volume in litri del sasso e il peso in chili
della barca, p il peso specifico del sasso e x � uguale a 1 - (l/L)^2.
Tendendo x a zero (ossia pistolando su l e L) si pu� renderlo pi� grande
di 1, che � ci� che volevo.
I conti li ho fatti un po' in fretta.
A voi torna il succo della cosa o avete obiezioni?
Grazie e ciao.
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Received on Wed Dec 04 2002 - 23:09:03 CET