Re: Neutrone

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 02 Dec 2002 20:50:37 +0100

Evolution ha scritto:
> L'idea in base alla quale si trova che lo stato deve essere simmetrico o
> antisimmetrico e' d'altronde talmente semplice che e' il caso di dirla.
> L'unico prerequisito e' sapere che lo stato di un sistema e' caratterizzato
> a meno di una fase complessiva.
In questi discorsi e' piuttosto importante usare una terminologia
precisa...
Occorre distinguere "stato" da "vettore di stato".
Vettori che differiscono per un fattore di fase rappresentano lo stesso
stato.
Si dice anche che a uno stato corrisponde un "raggio".

> Allora l'effetto di un'operazione di scambio, quando vogliamo che il nuovo
> stato sia indistinguibile da quello iniziale ha questo grado di liberta':
> che lo scambio puo' modificare la fase dello stato. Tuttavia se ripetiamo lo
> scambio, per definizione noi torniamo allo stato di partenza.
Piano... Se lo stato non cambia applicando l'operatore di scambio S,
certo non cambia applicandolo due volte...
Sia v un vettore di stato.
Se Sv = f(v)*v, certo S^2 v = f^2(v) v per la linearita' di S.
(Qui f(v) sta per un numero complesso di modulo 1, che per ora assumo
possa dipendere da v).

> L'effetto di un operazione di scambio del resto non puo' dipendere dalla
> fase ...
> Esistono due soli modi in cui
> un numero complesso puo' essere la radice quadra dell'unita': valere
> 1 o vale -1.
>
> Ora se ti dicessi che io ho capito fino in fondo questo discorso mentirei.
Fai bene a non aver capito :)
Quello che bisogna dimostrare anzitutto, e' che f(v) non dipende da v.
Ci arrivi cosi': S(u+v) = Su + Sv = f(u)*u + f(v)*v (linearita'). Ma e'
anche
S(u+v) = f(u+v)*(u+v).
Se u e v sono indipendenti, ne segue la tesi: f(u) = f(v) = f costante
su tutto H.

Ora c'e' un altro argomento da mettere in ballo: se il sistema e'
composto da due particelle, il suo spazio di Hilbert e' il prodotto
tensoriale dei due spazi delle due particelle: H = H1*H2 dove ora uso *
per il pr. tensoriale.
Ma si sa che H1*H2 e' la somma di due sottospazi invarianti sotto S:
quello dei tensori simmetrici, Hs e quello dei tensori antisimmetrici,
Ha: H = Hs + Ha (dove + va inteso nel senso di somma lineare di
sottospazi vettoriali).
Per definizione di S, esso lascia invariati tutti i tensori di Hs, e
cambia segno a tutti quelli di Ha. Mettendo insieme questo fatto con la
costanza del fattore di fase, si vede che il sistema di due particelle
non puo' essere rappresentato dall'intero H, ma solo da uno dei due
sottospazi Hs, Ha.

Da qui si capisce che per tre o piu' particelle identiche le cose si
potrebbero complicare: il pr. tensoriale H1*H2*H3 si puo' vedere come
somma di sottospazi invarianti sotto S, ma non dei soli sottospazi
simmetrico e antisimmetrico. Quindi in linea di principio sarebbe aperta
la possibilita' di avere un comportamento piu' complicato
(parastatistiche).

Valter Moretti ha scritto:
> ...
> Appena ho tempo
> vi scrivo la dimostrazione generale del primo enunciato che ho dato
> (per il secondo guardate per es. il libro di Wightman e Streater
> "PCT, spin statistics and all that")
Diciamo pero' che il teorema spin-statistica richiede altre ipotesi: non
solo che la teoria sia relativistica in un senso tecnicamente ben
preciso, ma che valga la commutativita' locale, e qualcos'altro (assiomi
di Wightman).
Percio' in linea di principio se si scoprisse una violazione, resterebbe
aperta la via di un indebolimento degli assiomi.
Lo stesso vale per l'invarianza TCP, e questo e' piu' interessante,
visto che sappiamo che CP e' violata. Se non mettiamo in discussione
TCP, dobbiamo ammettere la violazione di T (invarianza per inversione
temporale). Se invece lasciamo aperta la possibilita' che il teorema TCP
non valga, nel senso che non valgono le ipotesi, T si potrebbe salvare.
Tutte pure speculazioni, naturalmente...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Dec 02 2002 - 20:50:37 CET