Modi normali: pulsazioni con molteplicita' >1

From: Andrea Barontini <baro77_at_gmail.com>
Date: Thu, 23 Dec 2010 12:12:28 +0100

Ciao a tutti e ben ritrovati dopo la mia lunga assenza


Sto studiando in meccanica razionale i modi normali.
Giusto per far iniziare la mia domanda da qualche parte vi dico che mi
hanno definito operativamente (immagino secondo una consuetudine
abbastanza standard) le pulsazioni caratteristiche dei modi i valori w_s
(s indice) tali che


(1) det[K - w_s^2 * M] = 0



essendo arrivati al determinante PARTENDO dall'equazione delle piccole
oscillazioni espressa in forma matriciale...

(2) [K - w_s^2 * M] A_js e^(i w_s t) = 0


con i fasori: (3) A_js e^(i w_s t)

dove A_js e' un vettore (j componente del vettore, s indice della
pulsazione)

...E IMPONENDO la condizione (del determinante nullo appunto) che
garantisce l'esistenza di soluzioni non identicamente nulle.



(K e M sono le matrici ottenute tagliando al secondo ordine l'energia
potenziale e la cinetica rispettivamente).



Mi chiedo: il caso in cui una qualche w_s^2 abbiamo molteplicita' > 1
come radice del polinomio caratteristico (1), in quale situazione
"speciale" dal punto di vista fisico mi trovo?

Voglio dire:
------------
se le molteplicita' sono tutte 1, per ciascuna pulsazione caratteristica
risolvendo il sistema

(4) [K - w_s^2 * M] A_js = 0

trovero' un vettore A_js o -meglio- uno spazio vettoriale di dimensione
1, che pero' ha la proprieta' molto piacevole di essere costituito da
vettori reali , o "se proprio va male" complessi ma con parti reale e
immaginaria uguali o al limite linearmente dipendenti:

quindi posso sempre immaginare A_js reale e confinare l'eventuale parte
immaginaria (e quindi lo sfasamento della sinusoide reale) in un
coefficiente moltiplicativo complesso "arbitrario" che mi codifichera'
le condizioni al contorno per quel particolare modo, indipendentemente
dalle sue proiezioni sulla base che sto usando come gradi di liberta'.

In sostanza esiste un C_s complesso che moltiplico per il modo con A_js
reale, che mi dara' (una volta tornato nel dominio del tempo):

(5) |C_s| * A_js * cos (w_s * t + arg[C_s])




Tornando "a bomba" dopo questa lunga premessa che pero' forse mi aiuta a
contestualizzare i miei dubbi, mi chiedo:

qualora un w_s abbia molteplicita' > 1 invece il sottospazio soluzione
della (4) avra' dimensione pari alla molteplicita' (Rouche-Capelli!?) ma
a quel punto avro' della liberta' nella mia scelta dei vettori (plurale
perche' appunto la dimensione del sottospazio sara' >1) A_js ,pur
decidendo magari di prenderli linearmente indipendenti per "coprire"
tutto il sottospazio.

Inoltre:

faccio un esempio con w_s con molteplicita' 2 = dimensione sottospazio:
-----------------------------------------------------------------------
una soluzione potrebbero essere i due vettori reali linearmente
indipendenti:
A1 e A2

ma a quel punto sarebbero soluzione anche, per es:

A1 + i A1 e A2 + i A2 (Ok, analogamente al caso a dimensione 1)

ma anche:

A1 + i A2 e A2 + i A1

per i quali, essendo A1 e A2 linearmente indipendenti -per
"definizione"- allora non riuscirei piu' a isolare la parte immaginaria
nel coefficiente C_s delle condizioni al contorno (cioe',
matematicamente, non riuscirei a trovare un numero complesso che
moltiplicato per A1 mi dia come risultato A1 + i A2 e viceversa con A1 e
A2 scambiati)


Quindi tirando le somme, per molteplicita' di w_s maggiori di 1:

- cosa significa *fisicamente* che posso *scegliere* (ovviamente in
maniera opportuna -> lin indip) gli A_js ?
Lo chiedo perche' credevo di aver capito che gli A_js (o meglio le
direzioni degli A_js) fossero intrinseche al sistema... c'e' allora
qualcos'altro di intriseco per quando riguarda i modi a molteplicita'
>1, a parte la frequenza?

- perche' (sempre fisicamente) non riesco a "eliminare" dagli A_js la
parte immaginaria tramite il coefficiente delle condizioni al contorno?
Istintivamente mi verrebbe da dire che e' perche' c'e' uno sfasamento
intrinseco imposto dal sistema tra modi di quel sottospazio, ma questa
motivazione mi cade nel momento in cui torno a pensare che alla fine
comunque ho liberta' di scelta sugli A_js (e quindi forse anche lo
sfasamento potrebbe variare e quindi non essere piu' intrinseco): quindi
mi sembra che per i sottospazi delle molteplicita' > 1 potrei avere
degli sfasamenti tra i modi a quella frequenza, che pero' non sono
intrinseci non sono.. e la cosa mi turba....

- avete un esempio di sistema fisico (magari meccanico in 3 dimensioni
;-P tanto per provare a rimanere su qualcosa di abbastanza intuitivo) in
cui si ha una molteplicita' >1 ?



Scusate per la lunghezza
Grazie e buone festivita' a tutti!
Andrea Barontini
Received on Thu Dec 23 2010 - 12:12:28 CET