Re: Chiarimenti sul principio di minima azione.

From: Aleph <no_spam_at_no_spam.com>
Date: Mon, 06 Dec 2010 17:57:58 +0100

Quantum Leap ha scritto:

...
> Se per determinate condizioni iniziali � possibile, nel senso che nella
> realt� si verifica, solo quel particolare moto non capisco perch�
> confrontare questo particolare moto, cio� funzione oraria, con le altre
> che tanto non sono possibili, cio� non accadono in natura.

Il confronto non avviene esplicitamente, ma implicitamente: si tratta di
trovare l'equazione del moto risolvendo in pratica un problema di massimo
(o minimo).

> Questa � una caratterizzazione che certamente mi sar� utile in
> argomenti che affronter� in futuro, spero, ma che al momento mi sembra
> solo un processo matematico privo di una qualche utilit�.

L'utilit� sta nel fatto che m,olti problemi sono pi� facili da risolvere
via Principio di Hamilton, piuttosto che via equazioni di Newton (il
problema della brachistocrona ad esempio).
Senza contare l'importanza teorica di un approccio del genere, sia nello
stabilire l'equivalenza tra meccanica newtoniana e meccanica lagrangiana,
sia in settori come la teoria dei campi (classici e quantistici).
 
...
> Allora che faccio
> considero anche i moti che non si sono verificati, calcolo l'azione per
> essi, e mi rendo conto che l'azione � minima per il moto che realmente
> si � verificato in natura? Non lo so c'� qualcosa che mi sfugge e non
> riesco a capire.

Credo che non ti sia chiaro il concetto matematico di funzionale: il
calcolo che dici viene fatto, anche qui implicitamente, con strumenti
analitici, non � che uno si mette caso per caso a calcolare esplicitamente
il valore del funzionale per ogni legge oraria (e come potrebbe?).

...
> Soprattutto per l'affermazione che la natura "sceglie
> propio quel moto".
...

Affermazioni del genere fanno storicamente parte del sottofondo metafisico
a cui si ispirarono gli scopritori del principio di minima azione (o
principio di Maupertuis).
C'� un brano abbastanza noto di Maupertuis (ma anche Eulero mi pare di
ricordare scrisse cose simili) in cui dice, grosso modo, siccome Dio �
infinitamente saggio i moti devono avvenire in modo economico, tale da
minimizzare una data quantit� divina, etc. etc.
Ma non c'� proprio nulla nella fisica moderna che accrediti o si appoggi a
una tale visione metafisica del mondo, anzi direi che la sensibilit� �
assolutamente opposto rispetto ai tempi di Maupertuis (anche se non ho
sentito Zichichi in proposito).
 
> Caso della particella libera vincolata ad una retta in assenza di forze
> attive. La lagrangiana sar� 1/2v^2 con m=1. Consideriamo i moti
> nell'intervallo t0=0 e t1=1 con x(0)=0 e x(1)=1. Esisteranno infiniti
> moti. Per esempio x(t)=t o x(t)=t^2 o in generale x(t)=t^n. Se
> consideriamo il moto x(t)=t^2 l'azione S=2/3. Per x(t)=t^n S=0,5
> n^2/(2n-1). Per x(t)=t S=1/2. Quindi considerando tutti moti del tipo
> t^n, con n=1,2..., per la funzione x(t)=t l'azione sar� minima rispetto
> a quelle che soddisfano i moti su descritti.
> Che significa fisicamente questo? C'� qualche particolarit� che dovrei
> cogliere?

Dovresti cogliere il fatto che tra tutte le traiettorie definibili
matematicamente (in questo come in casi analoghi), la traiettoria reale
che si realizza compiendo l'esperimento � quella che rende minima il
funzionale che definiosce l'azione.

Saluti,
Aleph




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Received on Mon Dec 06 2010 - 17:57:58 CET

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