Classificazione dei gruppi di simmetria (in fisica)

From: Lorenzo Lodi <lodilory_at_tiscali.it>
Date: Sat, 2 Nov 2002 19:53:09 +0100

Per applicazioni in cristallografia, e fisica dello stato solido ho dovuto
studiare la classificazione la teoria dei gruppi di simmetria (gruppi
cristallografici) anche se, mio malgrado, non ho ancora ben chiare diverse
cose, a partire dagli stessi fondamenti (e lo sforzo maggiore per me e'
cercare focalizzare cosa non ho capito...)
Ad esempio, da dove si parte per arrivare alla classificazione della
simmetria di un oggetto (fisico) secondo la teoria dei gruppi? Provo ad
ordinare un po' le idee, sperando che qualcuno possa darmi risposte,
suggerimenti, correzioni o commenti.

Come viene definita una operazione di simmetria e soprattutto in quale
contesto matematico? (sp. metrico? vettoriale? affine?) Cioe', in base a
quali premesse si arriva a dire che le op. di simmetria per un vettore x
(nello spazio fisico tridimensionale) sono scrivibili come il prodotto per x
di una matrice ortogonale + una traslazione?
Fra l'altro, l'utilizzo per la descrizione di un punto (ad es. in reticolo)
attraverso un vettore (cioe' in pratica l'utilizzo dello sp. vettoriale R^3)
mi disturba per via del fatto che occorre fissare una origine degli assi per
scrivere le coordinate, introducendo cosi', almeno apparentemente, un punto
di riferimento privilegiato... non si puo' fare a meno di cio'?

Consideriamo la simmetria di un oggetto finito-dimensionale (diciamo una
molecola, ipotizzando [come al solito] di trattare i nuclei come particelle
(classiche) puntiformi). Al gruppo di simmetria della molecola non possono
appartenere operatori con componenti traslazionali (perche' altrimenti
facendo agire a sufficienza l'operatore "mi allontanerei troppo"
dall'oggetto iniziale, che e' finito). Esiste (perche'?) un punto dello
spazio che rimane immutato dalle op. di simmetria e io posizione su di esso
l'origine del mio sistema di riferimento. Fissata una base [ad es.
ortonormale] le op. di simm. sono scrivibili come matrici ortogonali e il
gruppo puntuale di simmetria dell'oggetto sara' un sottogruppo di O(3), e
ora veniamo al nocciolo: il fatto per cui per costruire i gruppi si scelgano
come "fondamentali" una serie di op. di simmetria (cioe', le rotazioni,
rotoinversioni, l'inversione...) ha un carattere convenzionale o
fondamentale? ad es., ha un significato fondamentale dire che il gruppo C3v
(not. Schoenflies) ha un asse ternario e un piano di simm. perpendicolare o
e' solo un modo per caratterizzarlo?

La lista (infinita) dei gruppi puntuali di simmetria (Cn, Sn, Ci,...)
esaurisce TUTTI i sottogruppi di O(3)? ossia, un arbitrario sottogruppo di
O(3) e' un gruppo di simmetria?
La classificazione della simmetria vale per sottoinsieme arbitrari di R^3 o
forse solo per una collezione (finita) di punti? o che altro?
La classificazione dei gruppi nei sei sistemi cristallini (triclino,
monoclino...) ha un valore convenzionale o e' qualcosa di fondamentale?

Per ora basta cosi'!
grazie a chi vorra' rispondere.
Lorenzo
Received on Sat Nov 02 2002 - 19:53:09 CET