Lemma di Sommerfeld

From: extrabyte <extrabyteNSP_at_libero.it>
Date: Thu, 17 Oct 2002 13:51:49 GMT

Ciao a tutti,

il lemma in subj � riportato sul famoso testo di S. Chandrasekhar: "An
Introduction to the study of stellar structure".

Questo lemma d� uno sviluppo asintotico (per L->oo)del seguente integrale:

I(L)=Integrate[f'(x)/((1/L)*(Exp(x)+1)),{x, 0, +oo} ]

dove f'(x) � la derivata prima di una funzione onesta f(x) che si annulla in
x=0. Lo sviluppo �:

I(L)= f(ln(L))+ 2*Sum[eta(k)*f^(k)(ln(L))] (1)

nella (1) la sommatoria � estesa ai k pari; eta(k) � la funzione eta di
Rieamann, mentre f^(k)(ln(L)) � la derivata k-esima della f. In questo
sviluppo si commette un errore dell'ordine di exp(-L)


Chandra utilizza questo lemma per determinare l'espressione asintotica di
alcuni integrali che nascono dall'applicazione della statistica di Fermi -
Dirac ad un sistema di fermioni relativistici (fluido stellare/fluido
cosmologico dell'universo primordiale). Quindi calcola le espressioni di
alcune grandezze termodinamiche. Ad esempio, per la pressione trova:

P(T)=((g m^4 c^5)/(6 pi^2
hbar^3))*Integrate[sinh(theta)^4/((1/L)*(exp(b*mc^2*cosh(theta)))+1),{theta,
0, oo}]

qui �:

m=massa di singolo fermione;
g=peso statistico;
c=v. della luce nel vuoto;
hbar=cost ridotta di Planck;
L=a(T)exp(b*mc^2) dove b=1/kT, con k=cost di boltzmann e T=temperatura di
equilibrio

Chandra dice che l'integrale che compare � del tipo I(L) e come tale ammette
uno sviluppo asintotico nel limite dei grandi L (fisicamente ci� corrisponde
alla degenerazione del gas quantistico). Perci� esegue il cambio di
variabile:

x=b*m*c^2*cosh(theta)

Quindi (dice Chandra) l'integrale si scrive:

Integrate[sinh(theta)^3/((1/L)*exp(x)+1),{x, 0, oo}]

in questa formula non mi trovo con gli estremi di integrazione, poich�:

0<theta<+oo => b*m*c^2<x<+oo, visto l'andamento del cosh. Perci�, a me
viene:

Integrate[sinh(theta)^3/((1/L)*exp(x)+1),{x, b*m*c^2, oo}]

Inoltre la grandezza L � data da:

L=a(T) exp(b*mc^2)

dove a(T)=exp(mu/kT) con mu=potenziale chimico.

non riesco a capire perch� nel testo � stato posto uguale a zero l'estremo
inf di integrazione, quando � invece � pari a b*mc^2, quantit� non
trascurabile, visto che � L>>1.


Grazie a chi pot� aiutarmi.

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extrabyte
Received on Thu Oct 17 2002 - 15:51:49 CEST

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