Base di Fourier: chiarimenti. (lungo)

From: foice <foice_at_tiscalinet.it>
Date: Sun, 6 Oct 2002 12:33:32 +0200

La base di Fourier {1, sen nx , cos nx } n = {1 ... inf} � una base di
C[-pi, pi] con la richiesta che f(pi) = f(-pi).
� anche una base di L^2[-pi. pi] con la stessa richiesta di periodicit� di
prima.

Vediamo perch� e ditemi se dico cose non corrette perch� vorrei fare
chiarezza.

I polinomi di grado n sono un insieme denso su C[-pi, pi] con la periodicit�
richiesta.
Essendo un insieme denso possono costituire una base dello spazio inf-dim
C[-pi, pi].
Un polinomio trigonometrico come quello che si scrive sommando come varibile
del polinomio exp(ix) ci fornisce una base di C[-pi, pi] cio� {exp(i n x)}
n= -inf ... inf che � la stessa cosa di quella detta sopra.

Poi essendo C[-pi, pi] denso su L^2[-pi, pi] possiamo estendere il
risultato di prima a L^2[-pi, pi] dicendo che i polinomi trigonometrici ne
sono una base.
Di questa estensione in virt� della densit� non sono tanto certo che sia
prorpio rigorosa, ma dicimo pure che sia un argomento e basta, siamo
comunque in grado di fare altre considerazioni in merito.

Dato un polinomio P(n; x,y) questo lo posso scrivere come somma(m = 0, n;
a_m*x^(k-m)y^k) e poi passando in polari ottengo somma(m = 0, n;
a_m*r^n*cos(p)^(k-m)*sen(p)^k) Una funzione che � chiaramente continua e
periodica come da richiesta e per la densit� dei Polinomi su C[-pi, pi] �
una sua base.

Senza pensare di estendere una propriet� valida su un sottoinsime di misura
non nulla a tutto lo spazio (quindi da C[-pi, pi] a L^2[-pi, pi]) posso fare
anche vedere che le funzioni della base di fourier sono autofunzioni di un
operatore compatto e autoggiunto e per tanto sono una base dello spazio su
cui opera l'operatore compatto in questione.
Prendiamo D operatore di derivazione e troviamone le autofunzioni che
saranno le stesso dell'operatore integrale suo inverso(operatore di Green
compatto e autoggiunto).
D � illimitato e si pu� vedere dal fatto che operando pi� volte il suo
dominio in generale si restrigne, l'inverso sar� allora compatto visto che
l'unit� non � compatta.
G ha nucleo che appartiene a L^2[-pi, pi]
DD^-1 = DG = 1 => G � compatto

scrivo
i *Df = c*f
ovvero
i*f ' = c*f

e quindi f = exp(-i*c*x)

ma se f(-pi ) = f( pi )

c � un numero intero positivo o negativo.

Quindi o ottenuto che le autofunzioni di D e quindi G che � compatto sono la
base di fourier che ora � certamente una base di L^2 visto che abbiamo preso
G operante in L^2[-pi, pi]

Trattandosi di base vale l'uguaglianza di Parseval e

(f, f) = somma(n = 0, inf; | integrale{dx; -pi ... pi ; exp( -inx ) *
(x) } |^2

cio� vale l'identificazione di e_n vettore di base e_n = exp(inx) e allora

f(x) = somma [n=-inf ... inf, (e_n, f)*e_n] cio� lo sviluppo di fourier in
cui

(e_n , f ) = int [dx, -pi ... pi , exp(-inx)*f(x)] = c_n � detto
coefficiente dello sviluppo.

Questo � quello che so. Mi pare sufficientemente coerente e autosostenuto.
Mi piacerebbe sapere se siete d'accordo.
Received on Sun Oct 06 2002 - 12:33:32 CEST