Patrizio <patrizio.pan-2002_at_libero.it> wrote
> ...
> Pero', mi viene in mente un dubbio.
> Anche ammettendo, sia pure per assurdo, che R sia non nulla solo quella
del
> resistore e L
> non ci sia, il generatore (ideale: d.d.p. = f.e.m. = costante = Vo) ha
> erogato al resto del
> circuito la stessa quantita' di carica q nei 2 casi, per cui esso ha
perduto
> un'energia pari a qVo. D'altro canto, l'energia che ritoviamo sui
> condensatori e' CVo^2/2. Per cui, nel primo caso potremmo scrivere:
> qVo = CVo^2/2.
>
> Ma, nel secondo caso dovremmo scrivere:
>
> qVo = CVo^2/2 + *energia dissipata su R*.
> ...
Allora,
prima di tutto c'� da dire che il generatore di tensione � ideale ed in
linea di principio sarebbe in grado di erogare tutta la potenza che si
vuole, nella pratica ovviamente non � cosi, poi nella seconda situazione,
quella in cui � presente anche la resistenza R in serie al condensatore, il
generatore fornisce pi� potenza, quindi pi� energia, rispetto al primo caso
in cui si ha il solo condensatore ideale in parallelo al generatore. Si ha
ci� perch� il generatore nella seconda situazione eroga, oltre
all'energia che alla fine del processo di carica si ritrova sul
condensatore, anche l'energia che durante il processo di carica si dissipa
sulla resistenza per effetto Joule, in quanto, ovviamente, la corrente i(t)
che entra in un morsetto del condensatore � la stessa che fluisce in R. Come
giustamente dici l'energia, di natura elettrostatica, sul condensatore sar�
uguale in tutti e due i casi e si pu� ricavare semplicemente, essa vale E =
(1/2)Cf^2, al solito pongo f = f.e.m. della pila.
Se vuoi ricavarti tutto quanto tieni presente che se i(t) � la corrente che
fluisce in un bipolo e la tensione istantanea ai suoi capi � v(t), allora
prendendo coordinati i versi di v(t) e i(t), come si fa in genere nella
Teoria dei circuiti, la potenza istantanea che esso assorbe � p(t) =
v(t)i(t). L'energia che avr� assorbito sar� ovviamente E = integrale(0,
+oo)(p(t)dt).
Versi coordinati vuol dire che i(t) entra nel morsetto + di v(t), in tal
modo il prodotto v(t)i(t) � proprio la potenza assorbita dal bipolo.
Tenendo presente tutto ci� non ci vuole niente, scrivendo magari
anche l'equazione della maglia per ricavare v(t) e i(t) ai capi di
R (comunque si pu� fare subito a occhio), a calcolare l'energia
che si dissipa su R nel secondo caso.
> ...
> Ora, o questo e' un mio errore, oppure, forse e' un modo di dimostrare
(per
> assurdo) che fisicamente non ha senso considerare il primo caso.
> Se cosi' fosse il pesciolino Delta di Dirac ci sarebbe sgusciato dalla
rete.
> Non mi resta che pensarci un po' su.
> ...
Nel primo caso c'� questo fatto un po' strano che la corrente va a infinito,
come ripeto il fatto � strano se confrontato con una situazione reale e
dicevo che deriva dalla schematizzazione del condensatore e aggiungo, adesso
che ci penso bene, che se si considerava il condensatore ideale e la pila
reale non si sarebbe avuta lo stesso corrente infinita. Ho detto anche che
l'eccessiva schematizzazione pu�, a volte, generare vari assurdi circuitali
per� non � questo il caso, qui, ripeto, il fatto strano � solo la corrente
infinita. Se si volesse calcolare la potenza assorbita dal condensatore, nel
primo caso, ci� si pu� fare anche se la corrente � infinita nell'istante
iniziale, c'� solo una piccola particolarit� da considerare : v(t) e i(t)
tensione e corrente su C, si ha che v(t) = fu_1(t), con u_1(t) al solito
gradino unitario, si � ricavato prima i(t) = Cf delta(t). La potenza
istantanea assorbita da C vale p(t) = Cf^2 u_1(t) delta(t) e quindi E = Cf^2
integrale(0, +oo)(u_1(t) delta(t) dt).
Teorema 1 (propriet� campionatrice dell'impulso) : se f(t) � una funzione
continua in t_0 allora si ha integrale(0, +oo)(f(x) delta(t_0 - x) dx) =
f(t_0), cio� il delta di Dirac seleziona (campiona) proprio il valore di
f(t) nell'istante t_0 facendo un integrale di convoluzione.
Teorema 2 (variante del Teorema 1) : Se per� f(t) presenta in t_0 una
discontinuit� di prima specie _come il gradino unitario u_1(t) in t_0 = 0_
allora si ha integrale(0, +oo)(f(x) delta(t_0 - x) dx) = (1/2)f(t_0), ossia
met� del valore precedente.
Applicando il Teorema 2 quindi � : E = Cf^2 integrale(0, +oo)(u_1(t)
delta(t) dt) = (1/2)Cf^2.
Come vedi mi pare che tutto torni
Ciao
Received on Tue Oct 01 2002 - 21:31:26 CEST