Re: Ancora principio di indeterminazione

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 17 Sep 2002 19:50:57 +0200

Stefano ha scritto:
> Ho letto su un libro che un elettrone non ricade sul nucleo dell' atomo
> (come dovrebbe fare secondo la meccanica classica) perche' se esso fosse
> confinato in un volume troppo piccolo allora, per il principio. di ind.,
> dovrebbe avere una elevata energia cinetica che gli consentirebbe di non
> collassare sul nucleo.
Detto cosi' e' un po' troppo semplificato...
Secondo la fisica classica (non solo meccanica, ma anche
elettromagnetismo) l'elettrone dovrebbe continuamente perdere energia
per emissione di rad. e.m. (ecco perche' la meccanica non basta: se non
ci fosse l'emissione, se ne potrebbe stare all'infinito per es. su
un'orbita circolare).
Dato che l'energia totale su un orbita circolare va come -1/r, e tende a
-infinito per r --> 0, l'elettrone potrebbe perdere indefinitamente
energia, fino a cadere appunto sul nucleo, che ha dimensioni finite.
Il punto essenziale dell'argomento col pr. d'indet. sta nel dimostrare
che invece esiste un minimo possibile per l'energia: raggiunto quel
minimo, l'elettrone non irraggia piu'.

> Questo fatto mi ha lasciato alquanto perplesso! Infatti per quanto ne so io
> sul princ. di ind. esso afferma solo che se io ho una informazione
> abbastanza chiara sulla posizione di una particella sara' molto indeciso sul
> suo impulso, ma non e' detto che determinando la posizione con una certa
> precisione la particella debba NECESSARIAMENTE avere una elevata energia
> cinetica e quindi velocita', posso solo dire che la sua energia puo' variare
> in una larga banda di valori!?
Ci vuole una formulazione un po' piu' accurata del pr. d'indet.
Diciamo che Delta x * Delta p >~ h, dove x e' una qualsiasi coordinata,
p la corrsp. componente della q. di moto, e Delta vuol dire "scarto
quadratico medio".
Ora vorrei evitare di fare i conti in dettaglio, ma inprimoluogo si vede
che se Delta x diminuisce, l'energia potenziale dell'elettrone, che va
anch'essa come -1/r, decresce sempre piu'.
Al tempo stesso deve aumentare Delta p, e quindi aumenta il valore medio
del quadrato di p. Ma l'energia cinetica media e' proprio proporzionale
a questo valor medio, quindi aumenta anch'essa.

Riassumendo: l'en. potenziale V diminuisce, l'en. cinetica T aumenta.
Sembrerebbe che non si possa dire molto sulla loro somma, ma invece
osserva che va come -1/r, ossia come -1/(Delta x); invece T va come
(Delta p)^2, ossia come 1/(Delta x)^2.
Dunque T cresce piu' velocemente di come V decresce, e il risultato e'
che quandol'
elettrone si avvicina al nucleo la sua energia totale aumenta, anziche'
diminuire.

Facendo i conti meglio, si trova che l'energia raggiunge un minimo
quando l'elettrone sta a una certa distanza (raggio di Bohr). Quello e'
lo stato fondamentale dell'atomo.

> Inoltre perche' lo stesso di scorso non si applica anche ad un protone, che
> si trova proprio confinato nel nucleo!?!
Principalmente perche' ha massa molto maggiore dell'elettrone (circa
2000 volte). Dato che l'energia cinetica e' p^2/2m, a parita' di p
diventa 2000 volte piu' piccola, quindi il minimo si raggiunge molto
piu' vicino, di fatto dentro al nucleo.
Poi c'e' da tener conto che la forza attrattiva e' diversa: molto piu'
intensa a breve distanza. Quindi V in valore assoluto e' maggiore.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Tue Sep 17 2002 - 19:50:57 CEST