Re: Terne nel 3-spazio euclideo, domanda relativa ad una vecchia risposta del prof.Elio Fabri

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 27 Jul 2002 19:57:52 +0200

Daniele ha scritto:
> ...
> Veniamo al dunque: esistono 2 e solo 2 orientazioni, almeno
> nell'n-spazio euclideo,perche' il determinante della matrice di cambiamento
> di base e' positivo o negativo.Dunque e' vero che questo fatto-->esistono 2 e
> solo 2 orientazioni, almeno nell'n-spazio euclideo,perche' il determinante
> della matrice di cambiamento di base e' positivo o negativo<-- implica che
> una qualsivoglia terna di assi orientati ortogonali a 2 a 2 in R^3 sia
> destrorsa aut sinistrorsa?
> Perche'?
Semplice: prendi due basi qualsiasi. La matrice che trasforma l'una
nell'altra e' univocamente determinata. Due casi sono possibili: o il
suo det. e' positivo, o e' negativo.
Questo fatto definisce una relazione di equivalenza nell'insieme delle
basi: la relazione che possiamo chiamare di "equiorientamento" ha due
sole classi.
Due terne sono equiorientate se il det. e' positivo (e stanno nella
stessa classe); se invece il det. e' negativo stanno in classi diverse.
La dimostrazione che si tratta di una rel. di equivalenza la lascio a te
;-)

C'e' di piu': prese due terne equiorientate, si puo' sempre passare *con
continuita'* dall'una all'altra. Questo vuol dire non solo che c'e' una
matrice M (a det. positivo) che fa la trasformazione, ma che puoi
trovare una famiglia di matrici, funzione continua di un parametro t
reale, per es. in [0,1], tale che M(0) = I, M(1) = M.
Allora applicando alla prima base M(t), passi con continuita' da una
base all'altra.
Invece una simile trasformazione continua *non e' possibile* se le due
basi hanno diverso orientamento. Lo capisci in questo modo: il
determinante e' funzione continua degli elementi della matrice, e
percio' per passare dal valore positivo iniziale per M(0) a quello
negativo finale per M(1) dovrebbe passare per 0. Ma le matrici di un
cambiamento di base, per definizione, non sono singolari...

> Come si fa a riconoscere se una qualsiasi assegnata terna e' destrorsa o
> sinistrorsa?
Non si fa! Non c'e' nessuna criterio intrinseco a una terna: puoi solo
dire se *due* terne sono equiorientate oppure no.
Dopo di che tu scegli una particolare terna, e dici: questa la chiamo
destrorsa. Cio' fatto, sai che nome dare a tutte le altre.
Fin qui la matematica. Ci si potrebbe chiedere: nel mondo reale, si puo'
dare un criterio fisico?
Una risposta, quella solita, e' di riferirsi a un qualche oggetto ... di
uso comune, come le mani o i cavatappi.
Ma la domanda rinasce: e se io dovessi spiegare a un extraterrestre che
cosa intendo per destrorso, come potrei fare?
A questo punto ti lascio a pensarci, perche' ho scritto abbastanza ;-)
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
Received on Sat Jul 27 2002 - 19:57:52 CEST