Re: Stati intermedi

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Mon, 01 Jul 2002 20:15:55 GMT

Elio Fabri wrote:
 Ma se scelgo la numerazione in modo che
> gli autovalori siano funzione crescente di n, penso che potro' sempre
> trovare un potenziale che mi da' proprio quegli autovalori (questo in
> realta' e' un altro problema: e' sempre possibile?

Ci ho pensato un po`, al problema generale che poni per ultimo e
credo che la risposta sia NO. Spiego perche'.
Considera una buca V(x) unidimensionale qualsiasi che a parte un po`
di oscillazioni poi diverge a +oo se |x|-> +oo in modo da avere
spettro solo discreto. Se prendi una retta orizzontale ad ordinata
molto alta E e consideri i valori x1(E) < x2(E) tali che V(x1(E)) =
V(x2(E))=E deve accadere che V(x2(E))-V(x1(E)) -> +oo se E-> +oo.
Ora, considera la stima WKB per gli autovalori di H = P^2/2M + V


int_{x1(E_n)}^{x2(E_n)} dx (E_n-V(x))^{1/2} ~ C (n+ 1/2)

dove C e` una costante positiva.
Se E_n (cioe` n) e` molto grande, l'integrale lo approssimi brutalmente con

E_n^{1/2} (V(x2(E_n))-V(x1(E_n))

per cui

(n+ 1/2) / E_n^{1/2} ~ (V(x2(E_n))-V(x1(E_n)) -> oo per n-> oo

Questo significa che

E_n cresce al piu` (ma non ci arriva) come n^2

Allora se prendi un insieme di autovalori che crescono
come n^4 per es, non dovresti riuscire a trovare un potenziale
che li descriva.
La "dimostrazione" di sopra dal punto di vista matematico
e` pietosa, ma credo che si possa arrivare a dimostrare per via rigorosa
che il risolvente di sqrt{P^2/(2M) +V} non sia mai di classe traccia se V
e` positivo e diverge a +oo per |x|-> oo o qualcosa di simile,
che equivale a quanto detto sopra.

Ciao, Valter
Received on Mon Jul 01 2002 - 22:15:55 CEST