Re: Il paradosso dei gemelli

From: Dario de Judicibus <nospam_at_mclink.it>
Date: Tue, 25 Jun 2002 08:10:58 +0200

Elio Fabri wrote:

> Allora, se oltre a scrivere leggevi, il mio nome ti deve essere noto
> ("Intelligiochi").

Ehp.... ecco perch� mi suonava familiare!

> Primo: un semicerchio non e' possibile, dato che esiste una velocita'
> limite. Se usi ct come ascissa, la pendenza della curva dovra' essere
> sempre inferiore a 45^.

OK, giusto. Baster� comunque prendere un arco tangente alla secante
dell'angolo retto nei punti A e B.

> Secondo: quando si parla di lunghezza, devi intenderla calcolata con la
> metrica di Lorenz-Minkowski, che nel nostro caso e'
> ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2.
> Se la legge del moto e' x(t), avrai
> \int_0^T \sqrt{c^2 - v^2} dt = c \int_0^T \sqrt{1 - v^2/c^2} dt
> che incidentalmente e' sempre minore di cT.

OK; fin qui torna. P.S. Che sintassi stai usando per le formule? E'
intuitiva ma sembra anche qualcosa di standard. Cos'�? TeX?

> Se consideri un intervallino dt in cui puoi supporre uniforme il moto
> del gemello che viaggia, avrai per quel trattino
> ds/c = \sqrt{1 - v^2/c^2} dt

Dal che suppongo che mentre sopra v � in realt� v(t), qui � costante su
un arco di tempo dt, giusto?

> e questa ti mostra che ds/c e' il tempo proprio del gemello viaggiatore:
> infatti non abbiamo scritto altro che la solita formula di dilatazione:
> dt = (ds/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2}.
> Dunque la somma dei ds/c e' proprio il tempo accumulato dall'orologio
> del gemello che viaggia.

Chiaro. In pratica, dato che nello spazio-tempo la distanza pi� breve
fra due punti � il segmento di retta, possiamo dire in generale che fra
due astronavi che viaggiano con velocit� differenti fra un punto A e un
punto B qualunque, la differenza di tempo, e quindi di et�, � data dalla
differenza di lunghezza dei due percorsi divisi per la velocit� della
luce, e che il tempo proprio minore � proprio quello di chi "viaggia"
lungo la retta, o meglio, lungo la traiettoria 3D che corrisponde al
segmento retto AB in 4D.

A questo punto tuttavia vorrei capire una cosa. Se ho due generici
percorsi diversi in 4D fra due punti A e B, almeno una delle due
traiettorie corrispondenti in 3D non sar� inerziale, se non entrambe,
ovvero ci saranno accelerazioni e decelerazioni. Io pensavo che la RR
non le compendiasse. Come me l'hai descritta tu sembra invece che
possano essere considerate. E' cos�? O mi manca ancora qualcosa?

In effetti questo dimostrerebbe che il paradosso dei gemelli �
dimostrabile SOLO PERCHE' uno dei gemelli viaggia di moto non uniforme,
infatti fra A e B, nello spazio-tempo, solo un percorso, quello retto,
corrisponde a una traiettoria percorsa con moto inerziale; gli altri
implicano comunque variazioni di velocit� nel 3D. E' corretto?

Scusa se sono un po' testone, ma l'ultima volta che ho aperto un libro
di fisica � stato nel 1985.

Dario
Received on Tue Jun 25 2002 - 08:10:58 CEST