Re: Il paradosso dei gemelli

From: Paolo Russo <paolrus_at_libero.it>
Date: Fri, 21 Jun 2002 23:00:30 GMT

[Dario de Judicibus:]

>>In fin dei conti, non e` troppo
>> diverso dalla normale lunghezza spaziale:
>
>Domanda: perch� la lunghezza della curva fra A e B in uno spazio
>quadridimensionale dovrebbe corrispondere al tempo trascorso nel seguire
>la traiettoria nello spazio tridimensionale che corrisponde a quella curva?

Scusa, mi sono spiegato male; con quel "non e` troppo
diverso" alludevo solo al concetto di integrare una
certa quantita` lungo una curva per determinarne una
proprieta` che viene poi chiamata lunghezza di quella
curva. Numericamente non coincide affatto, a causa
di quel segno meno. Una traiettoria alla velocita` della
luce ha addirittura lunghezza spaziotemporale nulla:
se ci si potesse muovere a quella velocita` non si
invecchierebbe.

Se proprio vuoi vedere graficamente la lunghezza
spaziotemporale, ti tocca ricorrere a un lurido trucco:
scambiare il tempo t del sistema di riferimento con il
tempo proprio del gemello. Immagina un grafico dove
in ascissa metti x e in ordinata metti il tempo proprio
tau (l'eta` del gemello); la lunghezza della curva
corrisponde a t, il tempo nel sistema di riferimento.
Funziona perche':

dTau=sqrt((dt)�-(ds/c)�)
(dTau)�=(dt)�-(ds/c)�
(ds/c)�+(dTau)�=(dt)�
sqrt((ds/c)�+(dTau)�)=dt

dove il termine con la radice e` una distanza
euclidea a quattro dimensioni, quindi una volta
integrato coincide con la lunghezza della curva
tracciata nel grafico dove x, y, z e tau sono gli
assi.
L'inconveniente di questa rappresentazione e` che
ci puoi tracciare una curva sola e non serve a
molto, per esempio all'inizio non si sa nemmeno
dove tracciare il punto B, dipende dal tragitto...
il punto B si trova ad una certa ascissa e a una
certa lunghezza della curva, che deve essere fatta
in modo da arrivare a quell'ascissa proprio quando
arriva a quella lunghezza. In sostanza questo
grafico non risponde alla domanda "a quest'ora
quanto e` invecchiato il gemello?" ma a quella opposta:
"sono il gemello; a quest'ora (del mio orologio),
quanto segna l'orologio del riferimento?".
In questo grafico il moto alla velocita` della luce
e` una linea orizzontale.
Comunque almeno si vede a colpo che il moto in
linea retta (siamo in RR, altrimenti dovrei dire in
caduta libera) consente di arrivare al massimo
tau a parita` di t.

Ciao
Paolo Russo
Received on Sat Jun 22 2002 - 01:00:30 CEST