Dico la mia a proposito.
Intanto, per quanto ne so, il supposto paradosso e' gia' stato verificato
sperimentalmente (certo uno puo' sempre immaginare che gli esperimenti
siano stati fatti male, il dubbio non va mai male, ....).
Se crediamo nella validita' della prova sperimentale, dal punto di vista
speculativo non si pone il problema se sia corretto o no quanto affermato
dal famoso paradosso, ma solo di capire dove sbaglia chi afferma
che il paradosso dei gemelli e' veramente paradossale.
Il punto centrale e' che in un sistema di riferimento accelerato
lo spazio-tempo si deforma e si deve essere cauti nel trarre conclusioni.
Si puo' dire che la accelerazione non c'entra niente ma prima bisogna
sapere come si deforma lo spazio-tempo e poi, eventualmente, concludere
che la accelerazione non c'entra. In un sistema di riferimento (quello
accelerato) lo spazio-tempo si deforma, nell'altro no.
Qui e', mi sembra, l'origine della asimmetria.
Poiche' non ne so niente di relativita' generale e poco di sistemi
accelerati (ma abbastanza da capire che essi vanno trattati con le molle)
ho pensato alla seguente dimostrazione che fa uso solo di relativita'
ristretta (trasformazioni di Lorentz fra sistemi in moto relativo uniforme).
Le accelerazioni necessarie le considero tutte istantanee (ovviamente
"localmente" istantanee).
G e G' si trovano nella posizione x=0, x'=0 nell'istante t=0, t'=0.
Sono entrambi fermi. Prima che G' si metta in viaggio i due concordano
che emetteranno segnali luminosi (l'uno verso l'altro) ad una fissata
frequenza che chiameremo omega.
E' chiaro che se alla fine del viaggio i due avranno inviato un numero di
segnali diverso allora il tempo non sara' trascorso in eguale quantita'
per i due.
Precedentemente i due erano andati nella posizione x=d e avevano
dato ordine a M (che rimarra' fermo in tale posizione) di dare a G' un
impulso tale da fargi invertire la sua velocita' quando (all'istante in cui
M vedra' il suo orologio segnare t=d/v) G' passera' da lui.
G' parte.
G vede G' andare alla velocita' v; G' vede G andare alla velocita' -v.
Siano beta=v/c e gamma=1/((1-beta^2)^.5).
Per effetto dello shift doppler G vedra' il segnale che arriva da G' alla
frequenza omeg1=gamma*(1-beta)*omega;
per lo stesso motivo G' vede il segnale che arriva da G alla frequenza
omeg1'=gamma*(1-beta)*omega.
Quando l'orologio di G' segna le t'=d/(v*gamma) G' incontra M
(che aveva visto finora avvicinarsi alla velocita' -v; G si allontanava e
M si avvicinava) che gli da' un colpo il cui effetto e' che G' vedra',
da ora in poi, G avvicinarsi alla velocita' v (non piu' allontanarsi a
velocita' -v) e M allontanarsi alla velocita' v.
Da ora in poi G' vedra' i segnali provenienti da G alla frequenza
omeg2'=gamma*(1+beta)*omega (sempre per lo shift Doppler),
ma anche G vedra' i segnali provenienti da G' alla stessa frequenza
omeg2=gamma*(1+beta)*omega.
Sembra tutto simmetrico e che quindi non si possa arrivare alla
conclusione che un gemello alla fine sara' piu' vecchio.
Invece non e' cosi'.
G' arriva da M all'istante t1'=d/(v*gamma), poi tornera' indietro
per percorrere la stessa strada a velocita' uguale (e cambiata di segno).
Naturalmente a G' sembra di "essere arrivato troppo presto", per
percorrere una distanza d credeva di dover impiegare un intervallo
di tempo pari a d/v, ma il sistema di S ha contratto le lunghezze e
cosi' si e' trovato da M in "anticipo". A G' sembra anche strano il fatto
che l'orologio di M segni le ore d/v; nello stesso istante (t1'=d/(v*gamma))
G' vede l'orologio di G segnare le ore d/(v*gamma^2) (G' vede l'orologio
di G andare piu' lento di un fattore gamma, come noto); questo non
significa che G' vede l'orologio di M scorrere piu' velocemente del suo,
lo vede scorrere piu' lentamente di un fattore gamma (come l'orologio
di G), solo che e' "messo male", "va avanti e scorre lentamente";
a G' sembra che gli orologi del sistema di riferimento fermo, quello
di G e di M, siano stati sincronizzati male.
Il viaggio di ritorno (essendo uguale a quello di andata) si concludera'
all'istante t2'=2*t1'=2*d/(v*gamma).
A questo punto la "frittata" e' fatta. Alla fine del viaggio G' avra' emesso
un numero di segnali pari a N=omega*t2'=2*d*omega/(v*gamma) e
avra' ricevuto da G un numero di segnali pari a
N'=omeg1'(t1'-0)+omeg2'(t2'-t1')=
[gamma*(1-beta)*omega]*d/(v*gamma)+[gamma*(1+beta)*omega]*d/(v*gamma)=
2*d*omega/v.
Come si vede il numero di segnali ricevuti da G' (emessi da G)
e' superiore rispetto a quelli ricevuti da G (emessi da G') per un fattore
gamma: N'=N*gamma.
Cioe' G e' piu' vecchio perche' ha emesso piu' segnali.
Analizziamo cosa vede G.
G riceve segnali da G' a partire dall'istante iniziale t=0 fino all'istante
in cui non ricevera' il segnale che e' partito quando G' era nella posizione
x=d; in quell'istante M (che ha l'orologio sincronizzato con G) segnava
le t=d/v; poiche' i segnali viaggiano a velocita' c, tale segnale arrivera'
da G all'istante t1=d/v+d/c. Nell'istante in cui terminera' il viaggio di G'
l'orologio di G segnera' le ore t2=2*d/v (G' percorre in totale, fra andata
e ritorno, una distanza 2*d viaggiando alla velocita' v).
Quindi alla fine del viaggio G avra' emesso un numero di segnali pari
a N'=omega*t2=2*d*omega/v e avra' ricevuto da G' un numero di segnali
pari a N=omeg1(t1-0)+omeg2(t2-t1)=
[gamma*(1-beta)*omega]*(d/v+d/c)+[gamma*(1+beta)*omega]*(d/v-d/c)=
2*d*omega/(v*gamma).
Cioe' anche G (ovviamente) e' daccordo con G' sul numero di segnali
emessi in totale da entrambi (ed e' quindi d'accordo nel sostenere
che egli e' piu' vecchio).
L'errore che compie chi considera simmetrica la faccenda sta nel
confondere gli orologi di M e di G. Il problema non e' simmetrico
perche' la accelerazione avviene nell'istante in cui G' e' a meta'
del suo viaggio e il suo orologio segna effetivamente la meta'
di quanto segnera' alla fine (e l'orologio di M segna la meta' di
quanto segnera' alla fine l'orologio di G) ma tale cambiamento
avra' effetti su G quando il suo orologio segnera' piu' della meta'
di quanto segnera' alla fine.
G' vede arrivare il filmato della vita di G per meta' del tempo
(del tempo totale che, secondo lui, e' stato necessario per il viaggio)
alla frequenza lenta omeg1'=gamma*(1-beta)*omega=omeg1
e per l'altra meta' del tempo alla frequenza veloce
omeg2'=gamma*(1+beta)*omega=omeg2.
Invece G vede arrivare il filmato della vita di G' per piu'
della meta' del tempo alla frequenza lenta e per meno
della meta' del tempo alla frequenza veloce. Inevitabilmente
G avra' osservato una pellicola piu' breve di quella osservata da G'.
Mi scuso per la lunghezza.
Con un po' di diagrammi spazio-tempo tutto sarebbe piu' facile
da esporre.
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Bruno Cocciaro
email:nospamb.cocciaro_at_leonet.it togliere "nospam" per avere il
corretto indirizzo.
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Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
--------------------------------------------- (G. Apollinaire)
Received on Sun May 09 1999 - 00:00:00 CEST