"Elio Fabri" <fabri_at_df.unipi.it> wrote in message
news:3D2160C5.64C0A0CF_at_df.unipi.it...
Intanto ringrazio Mino Saccone per il riferimento che mi ha dato, poi
> Bruno Cocciaro ha scritto:
> > un'asta "rigida" lunga d, accelera "istantaneamente", cioe', vista da
> > un sistema di riferimento S (dove l'asta si trovava in quiete prima di
> > accelerare), la velocita' di un estremo dell'asta (chiamiamolo estremo
> > O), passa istantaneamente da 0 a v. Quale e' la legge oraria, vista
> > nel sistema S, dell'altro estremo dell'asta (estremo F) ?
> L'asta piu' rigida e' una in cui le onde elastiche viaggiano con
> velocita' c.
> C'e' poi da chiarire che cosa esattamente significa che la vel. di un
> estremo dell'asta "passa istantaneamente ecc.": occorre un agente
> esterno, e bisogna farne un modello realistico, anche se schematizzato
> quanto vuoi. Per esempio, un corpo di massa molto maggiore dell'asta,
> che la urta.
Si' si' certo, ma al limite questo mi pare si possa accettare senza
problemi, si potrebbe anche, eventualmente, immaginare l'asta "spinta" da un
motore di potenza grande a piacere, rendendo cosi' la sua accelerazione
grande a piacere, quindi il tempo necessario per raggiungere una qualsiasi
velocita' data, piccolo a piacere.
> > chiederei al gruppo se la
> > domanda in oggetto ha una risposta nota e dove potrei eventualmente
> > trovarla. Per inciso, noto solamente che a me pare che la risposta
> > alla domanda debba essere "si' ",
> E' implicito in cio' che ho scritto che la risposta e' si'.
> Dove trovarla? In qualche mio vecchio quaderno :-))
:-) e' anche a questo che servono le news ... uno li mette li' i suoi
appunti, cosi' li ritrovera' sempre, almeno finche' google continuera' a
servirci.
Bene, allora, visto che la domanda sembra avere risposta nota, ma il vecchio
quaderno di Elio e' un po' problematico da rintracciare :-), almeno per me,
provo a postare i miei di appunti nella speranza che qualcuno abbia la
pazienza di darci una occhiata e possa darmi un parere. A me pare proprio
che le cose debbano andare come scrivo sotto.
_____________
Nel seguito far� l'ipotesi che se un corpo varia la propria velocit�
"istantaneamente", cio� in un intervallo di tempo sufficientemente
piccolo nel sistema di riferimento del corpo, allora la sua posizione
non varier� apprezzabilmente e questo sar� vero in tutti i sistemi di
riferimento. Far� cio� la seguente ipotesi:
se
il corpo C si trova in un certo sistema di riferimento S nella
posizione x all'istante t e si muove alla velocit� v rispetto al
corpo C' che si trova nello stesso punto ma in un altro sistema di
riferimento S', siano x' e t' rispettivamente la posizione e l'
istante ad esso associati ( x, t, x' e t' saranno allora legate dalle
trasformazioni di Lorentz) e se la velocit� v si annulla all'istante
t+Dt ,
allora,
detta x+Dx la posizione in cui C vede C' all'istante t+Dt nel suo
sistema di riferimento, e detti t'+Dt' l'istante in cui C' vede
fermarsi C e x'+Dx' la posizione in cui C' vede C all'istante t'+Dt',
al tendere a zero di Dt tendono a zero anche Dt' , Dx e Dx' .
In sintesi, alla fine della decelerazione "istantanea" C e C' si
trovano ancora nella stessa posizione e i loro orologi segnano ancora
gli stessi istanti che si avevano prima della decelerazione;
naturalmente se la posizione e/o gli istanti che segnavano i due corpi
prima della decelerazione erano diversi, lo saranno ancora dopo la
decelerazione. In sostanza, poich� alla fine della decelerazione i due
corpi hanno velocit� relativa nulla, l'unica differenza che si potr�
riscontrare alla fine della decelerazione fra i sistemi di riferimento
di C e di C' sar� una (eventuale) traslazione (sia spaziale che
temporale).
Quanto detto fin qui immagino sia dimostrabile in qualche maniera, ma qui lo
assumo, per semplicita'.
Passiamo finalmente alla sostanza del problema.
Supponiamo di mettere in moto un'asta rigida. Prima del moto l'asta,
lunga d , si trova con un estremo nell'origine (chiamiamolo estremo O)
e con l'altro estremo (estremo F) nel punto di ascissa x=d . Sia S il
sistema di riferimento rispetto al quale l'asta � in quiete fino all'
istante t=0 . All'istante t=0 l'estremo O dell'asta subisce una
accelerazione istantanea che lo porta alla velocit� v. Avendo subito
una accelerazione istantanea il suo sistema di riferimento cambier� ma
non cambieranno i valori che O associer� a posizione e istante alla
fine della accelerazione: O vedr�, nel suo sistema di riferimento,
x'=0 all'istante t'=0 . Da questo istante in poi O eseguir� un moto a
velocit� v , quindi la sua legge oraria sar�, nel sistema S, t=x/v ;
nel sistema di riferimento di O, ovviamente, la legge oraria sar� x'=0
. Ho opportunamente detto "sistema di riferimento di O", non
sistema di riferimento dell'asta rigida, in quanto l'asta, avendo una
lunghezza non nulla, non pu� istantaneamente mettersi in moto in ogni
suo punto. Ad esempio � ovvio che l'estremo F non pu� mettersi in moto
all'istante t=0 ; bene che vada, cio� se "l'informazione di mettersi
in moto alla velocit� v " viaggia lungo l'asta alla velocit� della
luce, F si metter� in moto all'istante t=d/c , dove c indica la
velocit� della luce. Il sistema dell'asta, finch� tutti i punti dell'
asta non hanno finito di accelerare e avranno quindi tutti la stessa
velocit�, non � definito, in quanto ogni punto dell'asta definir� un
sistema di riferimento. Finch� l'estremo F non si muove, il suo
sistema di riferimento sar� S, quindi la sua posizione sar� x=d
almeno fino all'istante t=d/c . Supponiamo che all'istante t=d/c l'
estremo F si metta in moto in maniera tale da raggiungere, nel pi�
breve tempo possibile, la corretta velocit� (e anche la corretta
posizione). Notiamo che il sistema di O vede F nel punto
x'=gamma*(1-beta)*d all'istante in cui F si mette in moto (istante
che F, nel suo sistema, chiama, come detto, t=d/c ) istante che per O
vale t'=gamma*(1-beta)*(d/c) (basta eseguire le trasformazioni di
Lorentz per accorgersi di ci�). Dunque il sistema di O vede, all'
istante t'=gamma*(1-beta)*(d/c) , due diversi punti dell'asta, F e il
punto di ascissa x'=gamma*(1-beta)*d , nella stessa posizione; se
entrambi questi punti facessero parte dello stesso sistema di
riferimento (cio� se non fossero in moto relativo) allora risulterebbe
violata l'ipotesi di rigidit� dell'asta. Evidentemente i due punti
dell'asta sono in moto relativo. Questo significa che F, quando si
mette in moto (all'istante t=d/c ) *non* si mette in moto
istantaneamente alla velocit� v .
Facciamo l'ipotesi che si metta
in moto istantaneamente alla velocit� c (ovviamente tale velocit� si
potr� riferire sia rispetto al sistema di riferimento S che rispetto
al sistema di O).
Questa e' l'ipotesi di rigidita' dell'asta; si potrebbe anche non fare,
cioe' si potrebbe immaginare che i punti dell'asta in realta', quando si
mettono in moto, partano a velocita vel con v<vel<c (con cio' implicitamente
si dice che v deve essere minore, non solo di c, ma anche della velocita'
vel di propagazione delle onde elastiche nell'asta, cioe', se v>vel allora
l'asta si rompe di sicuro), poi, una volta raggiunta la corretta posizione,
i punti dell'asta iniziano a muoversi alla velocita' v. Aste di questo tipo
potrebbero dirsi, forse non "rigide" (o forse si', in una qualche accezione
del termine), ma ugualmente "buone" come misuratrici di distanze, in quanto
portate da un sistema di riferimento ad un altro, alla fine del processo di
accelerazione (che per loro sara' piu' lungo rispetto al processo di
accelerazione di un'asta "rigida" nella quale i punti si mettono in
movimento alla velocita' c) avranno ancora, nel nuovo sistema di
riferimento, la stessa lunghezza che avevano nel sistema di riferimento in
cui erano all'inizio. Non ho fatto i conti, ma immagino proprio che per aste
di questo tipo, alla fine del processo di accelerazione, gli orologi non
saranno piu' sincronizzati; cioe', posto che sia in O che in F fossero degli
orologi sincronizzati prima della accelerazione dell'asta, alla fine,
immagino, l'orologio posto in O segnera' un istante diverso da quello posto
in F, che e' come dire che gli orologi posti sull'asta avrebbero bisogno di
una nuova sincronizzazione dopo il processo di accelerazione. Questa cosa
invece non avviene per le aste "rigide": per esse, come vedremo in seguito,
finita la accelerazione, gli orologi saranno tutti sincronizzati, cosi' come
erano prima della accelerazione.
Andiamo avanti allora nella analisi di cio' che succede (o almeno di cio'
che a me sembra accada) all'estremo F, nella ipotesi di asta rigida, dopo
che lo stesso si e' messo in moto alla velocita' c:
l'estremo F manterr� tale velocit� finch� O non lo
"vedr�" nella corretta posizione, la "sua" posizione , la posizione d
(secondo F egli ha "sempre" avuto la posizione d , erano gli altri che
gli associavano posizioni diverse); F assumer�, nel sistema di O, la
posizione x'=d all'istante t'=d/c . Ricordiamo che F si sta muovendo
alla velocit� della luce, quindi i suoi orologi sono fermi cio�
segnano sempre l'istante d/c mentre la sua posizione, nel "suo"
sistema, � ovviamente d . L'istante che O chiama t'=d/c � dunque l'
istante buono affinch� F deceleri istantaneamente da c a v (secondo
il sistema di riferimento S) cio� si porti nel sistema di O. Essendo
istantanea l'accelerazione, F si ritrover� nel nuovo sistema (quello
di O) con la stessa posizione che aveva prima di accelerare ( x'=d) e
con gli orologi che segnano lo stesso istante ( t'=d/c).
Finalmente tutta l'asta si � portata alla velocit� v (secondo il
sistema di riferimento S) e ha tutti gli orologi sincronizzati (nel
sistema di O, che � ora il sistema di tutta l'asta).
Dall'inizio di tutto il processo � trascorso un intervallo di tempo
pari a t'=d/c secondo l'asta (ora si pu� parlare di sistema di
riferimento dell'asta in quanto tutti i punti di essa si muovono alla
stessa velocit�), pari a t=gamma*(1+beta)*(d/c) secondo il sistema di
riferimento S. Notiamo che, alla fine di tutto il processo, dal
sistema di riferimento S si vede O nel punto di ascissa
xo=beta*gamma*(1+beta)*d e F nel punto xf=gamma*(1+beta)*d ; come
deve essere si ha xf-xo=d/gamma . L'asta alla fine del processo di
accelerazione appare contratta di un fattore gamma .
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Ringrazio anticipatamente quanti avranno la pazienza di mandarmi un
qualsiasi commento.
Chiudo con una domanda:
Il fatto che in relativita' ***si possano*** definire corpi rigidi e'
comunemente accettato???
Tempo fa su una questione in qualche modo connessa a questa (si parla del
disco li') Elio mi disse che Landau sbagliava, indotto in errore dallo
stesso Einstein. Li' la questione era pero' un pochino diversa e Landau la
chiudeva dicendo che in relativita' e' impossibile definire corpi rigidi.
Questa impossibilita', e' accettato che non ha ragione di essere ???
A me pare che non solo i corpi rigidi si possano definire, ma che
assolutamente si ***devono*** definire.
Ma l'ho fatta gia' troppo lunga mi pare :-).
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Tue Jul 02 2002 - 17:18:27 CEST