Re: Stati intermedi

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 24 Jun 2002 20:56:22 +0200

Paolo Russo ha scritto:
> Questo punto non mi e` chiaro. Tieni conto che sono un po' a
> digiuno di terminologia matematica. Che intendi con
> "separabili"?
Scusa il lungo ritardo, ma tra l'altro ho il mio provider che mi sta
dando delle noie e mi fa perdere un sacco di tempo per leggere e
scrivere.
Mi limito a dire qualcosa su questo punto specifico.
Spazio di Hilbert separabile e' di fatto quello che tu conosci, ossia
uno sp. di H. che ammette una base ortonormale completa numerabile. Non
e' banale vedere che esistono anche spazi non separabili, e per fortuna
non ce ne dobbiamo occupare per i nostri argomenti.
Ma per la precisione, se avessi detto che tutti gli sp. di Hilbert sono
isomorfi penso che qualcuno mi avrebbe corretto (giustamente).

Torniamo alla questione che mi diede da pensare.
Immagina un oscillatore armonico 2-dimensionale e anisotropo, ossia tale
che le frequenze proprie secondo due direzioni ortogonali siano diverse,
e supponiamo anche che le frequenze siano in rapoorto irrazionale.
Ovviamente possiamo classificare gli stati secondo due numeri quantici,
n1 e n2, che danno l'energia delle due oscillazioni indipendenti. Questo
perche' la hamiltoniana totale e' la somma di due ham. di osc. arm.
unidimensionali: H = H1 + H2 (a rigore dovrei scrivere un po' di
prodotti tensoriali...). H1 e H2 commutano, e hanno risp. autovalori
(n1+1/2)h*w1 e (n2+1/2)h*w2 (con h indico h tagliato).
Dunque una base nello spazio di Hilbert del sistema e' data dai vettori
|n1,n2>.
E fin qui e' tutto ovvio.

Ora osserviamo che lo stato |n1,n2> e' autovettore di H, con autovalore
(n1 + 1/2)h*w1 + (n2 + 1/2)h*w2, e che questi autovalori *non sono
degeneri*, visto che w1 e w2 sono incommensurabili. L'insieme dei
vettori |n1,n2> e' numerabile, e posso percio' rinumerarlo con un unico
numero quantico n; gli autovalori di H sono funzione di n, anche se la
funzione non e' semplicissima da scrivere.
Conclusione: il sistema *bidimensionale* puo' essere descritto con *un
solo* numero quantico n ovvero con gli autovalori di *un'unica*
osservabile H.

Domanda: come ci si potrebe accorgere, dato lo spazio di Hilbert, la
base |n> e gli autovalori di H, che si tratta di un sistema
bidimensionale? Oppure la domanda, che classicamente e' del tutto
naturale, in m.q. non ha senso?
Per ora non provo a dare la mia risposta, in attesa di commenti ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Jun 24 2002 - 20:56:22 CEST