Buongiorno, Elio Fabri ha scritto:
[cut]
> Immagina un oscillatore armonico 2-dimensionale e anisotropo, ossia tale
> che le frequenze proprie secondo due direzioni ortogonali siano diverse,
> e supponiamo anche che le frequenze siano in rapoorto irrazionale.
> Ovviamente possiamo classificare gli stati secondo due numeri quantici,
> n1 e n2, che danno l'energia delle due oscillazioni indipendenti. Questo
> perche' la hamiltoniana totale e' la somma di due ham. di osc. arm.
> unidimensionali: H = H1 + H2 (a rigore dovrei scrivere un po' di
> prodotti tensoriali...). H1 e H2 commutano, e hanno risp. autovalori
> (n1+1/2)h*w1 e (n2+1/2)h*w2 (con h indico h tagliato).
> Dunque una base nello spazio di Hilbert del sistema e' data dai vettori
> |n1,n2>.
> E fin qui e' tutto ovvio.
> Ora osserviamo che lo stato |n1,n2> e' autovettore di H, con autovalore
> (n1 + 1/2)h*w1 + (n2 + 1/2)h*w2, e che questi autovalori *non sono
> degeneri*, visto che w1 e w2 sono incommensurabili. L'insieme dei
> vettori |n1,n2> e' numerabile, e posso percio' rinumerarlo con un unico
> numero quantico n; gli autovalori di H sono funzione di n, anche se la
> funzione non e' semplicissima da scrivere.
> Conclusione: il sistema *bidimensionale* puo' essere descritto con *un
> solo* numero quantico n ovvero con gli autovalori di *un'unica*
> osservabile H.
> Domanda: come ci si potrebe accorgere, dato lo spazio di Hilbert, la
> base |n> e gli autovalori di H, che si tratta di un sistema
> bidimensionale? Oppure la domanda, che classicamente e' del tutto
> naturale, in m.q. non ha senso?
> Per ora non provo a dare la mia risposta, in attesa di commenti ;-)
Tento qualche osservazione.
Visto che la domanda ha senso classicamente, si potrebbe provare a
vedere cosa accade nel limite classico, ad es. per temperature elevate
rispetto alla separazione dei livelli si otterrebbe per l'energia media
dell'oscillatore il valore 2*k*T al posto di k*T dato che l'oscillatore ha
due gradi di liberta' e la funzione di partizione che si calcola conoscendo
i soli livelli energetici di fatto e' il prodotto delle funzioni di partizione di
due oscillatori indipendenti.
Pero' in questo modo riesco ad accorgermi che il sistema ha due g.d.l.
perche' suppongo gia' di sapere che si tratta di un oscillatore armonico,
non so come si potrebbe fare senza avere questa informazione.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Tue Jun 25 2002 - 07:43:02 CEST