Re: sistemi non lineari

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 22 Jun 2002 20:43:34 +0200

c_laudio ha scritto:
> Grazie mille, sei stato veramente molto gentile e disponibile. Un'ultimo
> problema: perche' dici che il biliardo normale ideale e' non lineare?
Non c'e' di che :)

Ti faccio un esempio ancora piu' semplice: una pallina si muove su una
retta, dove e' presente un ostacolo rigido. Quando la pallina incontra
l'ostacolo rimbalza elasticamente, con la stessa velocita' (in modulo).
Domanda: e' un sistema lineare? Risposta: no.
Per vederlo usiamo un criterio necessario: consideriamo tre diverse
condizioni di moto, che chiamiamo x1(t), x2(t), x3(t), caratterizzate
dalle diverse condizioni iniziali.
Come certo sai, per individuare il moto occorre dare a un certo istante
iniziale, poniamo t=0, la posizione e la velocita' della pallina. Sono
dunque date:
x1(0), v1(0); x2(0), v2(0); x3(0), v3(0).
Le scelgo in modo che x2(0) sia media aritmetica fra x1(0) e x3(0), e
anche v2(0) sia media aritmetica fra v1(0) e v3(0). Possiamo addirittura
prendere v1(0)=v2(0)=v3(0): cosi' i tre moti differiscono solo per il
punto di partenza..

Il sistema e' lineare solo se la condizione
x2(t) = (x1(t) + x3(t))/2 (*)
rimane valida a tutti i tempi.
(La condizione non e' sufficiente, ma si potrebbe riformulare in modo da
renderla sufficiente. Pero' a me basta che sia necessaria.)

E' chiaro che finche' nessuno dei tre moti incontra l'ostacolo, la
condizione (*) resta valida (ricorda che le tre velocita' sono uguali).
Ma che succede appena il moto piu' avanzato, supponiamo x1, incontra
l'ostacolo? Si ha il rimbalzo, mentre x2 e x3 proseguono in avanti:
quindi la (*) non vale piu', c.v.d.

La stessa cosa si puo' fare col moto dei pianeti.
Immagina che il pianeta 1 e il 3 si muovano attorno al Sole in orbite
circolari, a distanze diverse, con 1 piu' vicino al Sole; al tempo 0
siano allineati col Sole. Naturalmente bisogna prendere le velocita'
giuste perche' le orbite siano circolari; penso che tu sappia calcolare
queste velocita', ma non ci servono direttamente.
Ora mettiamo il pianeta 2 a meta' strada fra 1 e 3 al tempo 0, e con
velocita' media arimetica di quelle dei due pianeti.
se il sistema fosse lineare, *a ogni istante* il pianeta 2 dovrebbe
sempre trovarsi nel punto medio del segmento che unisce 1 e 3, e credo
sia ovvio che non succede. Tra l'altro l'orbita di 2 non sara' neppure
circolare, ma pensa solo che dopo un po' 1 e 3 saranno da parti opposte
del Sole, perche' 1 impiega meno tempo di 3 a fare un giro. A quel
momento 2 sara' in una posizione intermedia nel suo giro, ma certamente
non allineato con 1 e 3.
(Non posso fare una figura, ma puoi farla tu, per vedere come stanno le
cose.)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sat Jun 22 2002 - 20:43:34 CEST