Re: matrici hermitiane

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 22 Jun 2002 20:45:02 +0200

Fily ha scritto:
> La ringrazio per avermi chiarito parte del discorso ma ho
> ancora diversi dubbi:
> -Perche' si puo' mettere U = exp(iA)?
> -Che cosa giustifica il fatto che le matrici A generano il
> gruppo SU(3)?
Non e' che mi chiedi un piccolo corso sui grupopi di Lie? :)
Pero' una cosa non capisco: tu stai studiando Fisica Teorica (o forse
Ist. di Fis. Nucl e Subn.?)
Nessuno ti ha mai spiegato queste cose? Ne' conosci libri che le
trattino?
Comunque:

Dato che lavoriamo con matrici finite, le cose sono abbastanza semplici,
anche se molte proprieta' valgono anche per matrici infinite (oper. su
spazi di Hilbert).
1. Una matrice unitaria ha sempre una base (ortonormale) di autovettori.
2. Scritta in quella base, la matrice e' diagonale, e i suoi autovalori
sono n. complessi di modulo 1: exp(ia), exp(ib), exp(ic).
3. La matrice diagonale (reale) A, con a, b, c sulla diag. principale,
ha gli stessi autovettori di U, ed e' U = exp(iA), perche' questa
relazione vale su ciascun autovettore.
4. Tornando alla base iniziale, la relazione rimane conservata (nota che
la puoi anche scrivere come serie di potenze: U = I + iA + ... Ma U
torna ad essere quella da cui eravamno partiti, e A si trosforma in una
generica matrice hermitiana (autovalori reali, autovettori ortogonali).
Questo per la prima domanda.

Seconda domanda: ricorda che ora le matrici A sono a traccia nulla; con
lo stesso argomento di cui sopra, usato all'inverso, partendo da
qualunque A hermitiana ottieni con exp(iA) una matrice unitaria. Se la
traccia di A e' nulla, det U =1. Infatti a+b+c=0, quindi
exp(ia)*exp(ib)*exp(ic) = 1 e d'altra parte il det. di una matrice
(unitaria) e' il prodotto degli autovalori (ricorda che il determinante
si conserva per cambiamento di base ortonormale).
Dunque ogni A hermitiana a traccia nulla produce una U unitaria a det.
1; viceversa, se U e' unitaria a det. 1, posto U = exp(iA) risulta che A
e' hermitiana e a traccia nulla.
C'e' dunque corrispondenza uno-uno fra le A e le U. (Beh, non
esattamente: v. dopo.)

D'altra parte le A formano uno spazio vettoriale reale di dimensione 8:
le puoi ottenere tutte come combinazione lineare reale di 8 tra loro
indipendenti. Quindi tutto SU(3) e' generato scrivendo U =
exp(\sum_{k=1,8} x_k A_k) dove le x_k sono reali.
In realta' non e' necessario che le x_k assumano tutti i valori reali:
scegliendo bene le A_k, puoi limitarle tutte a a un intervallo, per es.
[0,2pi). Lascio a te capire perche'.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sat Jun 22 2002 - 20:45:02 CEST