Re: Il paradosso dei gemelli

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 24 Jun 2002 14:14:30 +0200

> ...
> OK, adesso siete veramente riusciti a confondermi del tutto quel po' di idee
> confuse che gia' avevo ;-)
>
> Ho letto tutti i post, ho capito che questa e' una domanda fatta spesso sul
> NG, e che spesso riceve delle risposte. Il guaio e' che non sono tutte
> uguali, anzi, alcune sono in aperta contraddizione l'una con l'altra, per
> cui sono punto da capo. Il che mi fa pensare, dato che su questo NG c'e'
> parecchia gente che ci capisce di Fisica, che forse la RR non e' ancora cosi'
> ben compresa come credevo... Io pensavo che quella complessa fosse la RG...
Non posso che essere d'accordo...

> ...
> La cosa incomincia a farsi interessante. Vediamo se ho capito: un unico
> sistema di riferimento, NON solidale con alcuno dei due gemelli (mi piace).
Non *necessariamente solidale*: se sei in uno spazio vuoto (RR) e uno
dei due gemelli sta sulla solita astronave a motori spenti, puoi
benissimo prendere quello come riferimento.

> I due gemelli hanno traiettorie diverse per raggiungere B da A, quindi
> l'integrale e' diverso. A questo punto, tuttavia, in mancanza di un campo,
> gravitazionale o meno poco importa, il risultato dovrebbe dipendere dalla
> traiettoria a causa del ds. Giusto?
Giusto, ma non dimenticare che stai parlando di "traiettoria" nello
spazio-tempo.

> ...
> Si', ho scritto per alcuni anni su MC microcomputer di programmazione in C su
> Amiga.
Allora, se oltre a scrivere leggevi, il mio nome ti deve essere noto
("Intelligiochi").

>... Il guaio e' che con il tempo il cervello arruginisce... ;-)
L'unica e' tenerlo sempre in esercizio, ben oliato :-)

> Domanda: perche' la lunghezza della curva fra A e B in uno spazio
> quadridimensionale dovrebbe corrispondere al tempo trascorso nel seguire
> la traiettoria nello spazio tridimensionale che corrisponde a quella curva?
>
> Esempio: immagina uno spazio a due dimensioni: x e t. Il tempo e' lungo
> le ascisse. A e' la Terra al tempo 0, B lo e' al tempo T. Il sistema di
> riferimento e' la Terra al tempo 0, per cui evitiamo di considerare il
> moto del pianeta nello spazio. Il gemello che sta sulla Terra e'
> rappresentato come un segmento di retta orizzontale fra A e B, stessa
> ordinata. Quello che viaggia, come un semicerchio (ad esempio) che va da
> A a B salendo di ordinata e poi riscendendo. Se la lunghezza del
> segmento e' 1 (normalizzata), quella del semicerchio e' pi greco, cioe'
> 3,14. Ma che legame c'e' fra questo e il tempo?
Primo: un semicerchio non e' possibile, dato che esiste una velocita'
limite. Se usi ct come ascissa, la pendenza della curva dovra' essere
sempre inferiore a 45^.
Secondo: quando si parla di lunghezza, devi intenderla calcolata con la
metrica di Lorenz-Minkowski, che nel nostro caso e'
ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2.
Se la legge del moto e' x(t), avrai
\int_0^T \sqrt{c^2 - v^2} dt = c \int_0^T \sqrt{1 - v^2/c^2} dt
che incidentalmente e' sempre minore di cT.

Se consideri un intervallino dt in cui puoi supporre uniforme il moto
del gemello che viaggia, avrai per quel trattino
ds/c = \sqrt{1 - v^2/c^2} dt
e questa ti mostra che ds/c e' il tempo proprio del gemello viaggiatore:
infatti non abbiamo scritto altro che la solita formula di dilatazione:
dt = (ds/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2}.
Dunque la somma dei ds/c e' proprio il tempo accumulato dall'orologio
del gemello che viaggia.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Jun 24 2002 - 14:14:30 CEST