Nuntio vobis gaudium magnum!

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Sat, 29 Dec 2012 21:07:53 +0100

Il "gaudium" deriva dal fatto che sono finalmente arrivato in fondo a
un conto che mi stava impegnando da (troppo) tempo.
Del problema avevo gi� parlato in un thread del 5, intitolato "Mi
aiutate a risolvere un dubbio?" dove chiedevo lumi su un punto
particolare. Su quel punto non ho avuto molte risposte, esattamente due:
- una privata da Paolo Bellia, che per� non � stata risolutiva
- un'altra da Vic Damone, che mi suggeriva di chiedere a Jackson...
Comunque il dubbio su quel punto � superato: mi sono convinto che i
termini ci vogliono entrambi. Anche per le ragioni che vedrete fra poco.

Per chi non lo ricordasse, riassumo il problema.
Mi ero chiesto se per la radiazione emessa da un sistema di cariche e
correnti, lo sviluppo in multipoli equivalga a quello in serie di
potenze del rapporto beta = wa/c (w frequenza, a dimensione tipica del
sistema).
Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2,
formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe
affermativa, mentre secondo il Jackson, che tratta il problema molto
pi� a fondo, si direbbe il contrario.

Per risolverlo, avevo deciso di calcolare /senza approssimazioni/ la
radiazione di un oscillatore armonico. In questo caso con a indico
l'ampiezza dell'oscillazione, e beta (che ora indicher� con b per
brevit�) � la velocit� max divisa per c.
Il calcolo esatto non � difficile, e fornisce una formula che non
trascrivo, e che sviluppata in serie di b �

W = K (b^2 + 3 b^4/4 + 3 b^6/4 + 25 b^8/32 + ...) (*)

dove K � una costante che non occorre qui precisare.
Il primo termine si verifica coincidere con la ben nota formula della
radiazione in appr. di dipolo per piccola ampiezza; ma quelli da
studiare erano i termini successivi.

Ho quindi sviluppato il calcolo esatto dei vari termini di multipolo
(soltanto elettrici, in questo caso) tenendo anche conto che occorre
distinguere i contributi alle diverse frequenze.
Infatti il dipolo e tutti i multipoli dispari irraggiano sulla
fondamentale e su tutte le armoniche dispari, mentre il quadrupolo e
tutti i multipoli pari irraggiano sulle armoniche pari.
I contributi di ciascun multipolo per ciascuna armonica si sommano
incoerentemente nella potenza totale.

Seguendo le formule di Jackson, si ottiene il coeff. a_{nl} del
multipolo di ordine l per l'armonica n-ma, come serie di potenze in b.
(Nel calcolo ho conservato entrambi i termini che appaiono nella
[9.168] di Jackson: il fatto che alla fine abbia ottenuto accordo
prova a posteriori che i termini soni entrambi necessari).
E' quindi possibile confrontare ciascun termine della (*) con quelli
che si ottengono sommando i contributi per i diversi n e l.
Pi� in dettaglio:
- il termine in b^2 proviene da solo a_{11}
- il termine in b^4 proviene da a_{11} e a_{22}
- il termine in b^6 proviene da a_{11}, a_{22}, a_{31}, a_{13}, a_{33}
e qui mi sono fermato.

Dopo innumerevoli errori di calcolo, sono riuscito a ottenere perfetto
accordo con la (*) e quindi posso trarre la seguente conclusione:

Lo sviluppo in potenze di b /non corrisponde/ allo sviluppo in
multipoli: ogni termine di multipolo (per una data armonica) � una
serie di potenze in b, mentre a ogni termine di dato ordine in b
contribuiscono pi� multipoli e pi� armoniche.

Se qualcuno fosse interessato a maggiori dettagli e a tutti i calcoli,
trover� (per qualche tempo) il file
http::/www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/temp/osc-rel.pdf
Sicuramente un ottimo modo per passare la sera del 31 :-D
--
Elio Fabri
Received on Sat Dec 29 2012 - 21:07:53 CET