Re: Ancora sulle onde stazionarie

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 05 Jun 2002 20:01:22 +0200

Luigi ha scritto:
> Sto affrontando Fisica II ad Ingegneria
Beh, ci avevo preso...

> Infatti ho provato a simulare la propagazione di una perturbazione
> qualsiasi su una fune vincolata (su Internet ci sono varie applet) ed
> ho atteso inutilmente che "emergessero" le armoniche.
Io pero' non mi fiderei ciecamente di applets e anche di programmi di
simulazione in generale, se non sai bene come sono stati scritti. Puo'
darsi che siano ben fatti, ma non e' detto.
Nel caso che t'interessa, dovresti vedere l'impulso che va avanti e
indietro sulla corda senza cambiare mai forma ne' ampiezza.

> Scusa, ma per Fourier mi pare che un qualunque segnale si scomponga in
> una serie di sinusoidi di freq. compresa con continuita' tra -inf e
> +inf. Non ricordo si parlasse di componenti con frequenze discrete (e
> legate tra l'altro alla lunghezza L della corda).
Bella domanda! E che potrebbe anche portarci piuttosto lontano nella
matematica...
Vediamo se posso darti una risposta breve e comprensibile.

Quello che dici e' vero, in questo senso. Se vuoi rappresentare come
sovrapposizione di sinusoidi una funzione generica di x, e vuoi che la
rappresentazione sia esatta per ogni x, avrai bisogno in effetti
d'infinite sinusoidi sin(kx) e cos(kx) con k reale qualsiasi. E' quello
che si chiama "integrale di Fourier".
Ma qui hai una corda, e interessa solo la forma della corda, tra 0 e L.
Inoltre la corda e' ferma agli estremi: f(0) = f(L) = 0.
Allora puoi usare una (molto piu' semplice) serie di Fourier di soli
seni:
f(x) = \sum a_k sin(k*pi*x/L) (k intero positivo).

Quando vai a studiare l'andamento nel tempo, trovi che ciascuna
componente sinusoidale oscilla con una frequenza propria w_k = k*v*pi/L,
dove v e' la velocita' delle onde sulla corda (la stessa per tutte le
frequenze: la corda non e' "dispersiva"). Percio' le frequenze sono
tutte multiple della *fondamentale* (k=1) w_1 = v*pi/L.
Ne segue anche che il moto della corda e' *periodico*: dopo un tempo T =
2*pi/w_1 = 2L/v, tutte le componenti si ritrovano con la stessa fase che
al tempo 0, eccetera. Nota che 2L/v e' proprio il tempo che un impulso
impiega a percorrere la corda avanti e indietro.

> Hai ragione, ma io sono fatto cosi', se non ho capito bene una cosa
> non riesco ad andare avanti. E il non riuscire a giustificare le onde
> stazionarie mi ha mandato in crisi.
Entro ragionevoli limiti non e' certo un difetto; specie se poi trovi
qualcuno che ti risolve i dubbi ;-)

> Comunque un dubbio mi e' rimasto: tornando alla fune, perche' nelle
> onde "superstiti" della fune smorzata e' importante il legame con L ?
Non so se ho capito la domanda.
Se c'e' smorzamento, l'ampiezza di ciascuna armonica decresce in modo
esponenziale, con una diversa costante di tempo. La costante di tempo
decresce al crescere di k. Percio' dopo un po' ti restano solo le
armoniche piu' basse, che hanno la costante di tempo piu' lunga.
L'ultima e' la fondamentale, che poi tace ... e spegne la luce :)
Ma questo piu' o meno l'avevo gia' detto, quindi forse la domanda era
diversa.

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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Wed Jun 05 2002 - 20:01:22 CEST