Re: ricerca radici di polinomio di grado qualsiasi (anche non intersecante, ma solo tangente, l'asse X)

From: lefthand <nontelodico_at_qui.da.me>
Date: Fri, 28 Dec 2012 20:52:44 +0100 (CET)

Il Tue, 25 Dec 2012 23:10:44 +0100, Soviet_Mario ha scritto:

> Scusate, sempre sulla questione dei polinomi, avrei ora un dubbio
> diverso.

Scusa il ritardo nella risposta... anche se più che risposta dovrei dire
supplemento di indagine ;-)
 
> Ripeto en passant la loro genesi e quindi le loro peculiarità (tra i
> tanti polinomi) : Si possono tutti descrivere come
>
> (a1-n1X)^n1*(a2-n2X)^n2*...*(az-nzX)^nz = K* (segue)...
> (b1-m1X)^m1*(b2-m2X)^m2*...*(bt-mtX)^mt
>
> dove,
> a1 a2 a3 ... az sono positivi (reali)
> b1 b2 b3 ... bt sono positivi (reali)
> n1 n2 n3 ... nz sono naturali m1 m2 m3 ... mz sono naturali K è positivo
> (reale)

m1... mt, immagino; per ulteriore informazione, questi numeri hanno un
range di variazione tipico? Esiste un qualche legame tra le a e le b? I
numeri n e m a cosa corrispondono?

> vale inoltre, sempre, che ogni monomio è strettamente maggiore di zero,
> per cui il primo membro ed il secondo sono sempre positivi.

Volevi dire ogni binomio? Quindi vale la condizione
X<X_max=min{min{ai/ni}, min{bi/mi}}?
E per caso è anche X>0?

> dopo averlo ristrutturarlo come
>
> N * (a1/n1 - X)^n1*(a2/n2 - X)^n2*...*(az/nz - X)^nz = K * D * (b1/m1 -
> X)^m1*(b2/m2 - X)^m2*...*(bt/mt - X)^mt
>
> dove N = n1^n1 * n2^n2 * ... * nz^nz ed D = m1^m1 * m2^m2 * ... * mt^mt
>
> inglobando le costanti, diventa ancora
>
> (A1 - X)^n1*(A2 - X)^n2*...*(Az - X)^nz -
> - K# * (B1 - X)^m1*(B2 - X)^m2*...*(Bt - X)^mt = 0
>
> spostando i due pezzi al primo membro ed ottenendo un'equazione (di
> grado anche elevato)

Torniamo un attimo indietro e scriviamo l'equazione nella forma:
(A1 - X)^n1*(A2 - X)^n2*...*(Az - X)^nz =
 K# * (B1 - X)^m1*(B2 - X)^m2*...*(Bt - X)^mt

Ora, se 0<X<X_max, per X=0 ambo i membri hanno un loro valore positivo e,
al crescere di X, decrescono monotonicamente fino a X=X_max.
Il fatto che i polinomi siano di grado anche elevato ci dice che le due
funzioni possono non avere intersezioni, o averne una, o più di una,
anche se, visto che nel tratto considerato entrambe le funzioni hanno
derivata negativa e derivata seconda positiva (e derivata terza negativa
ecc.) e quella delle due che arriva a zero ci arriva con molteplicità nj
o mj, nel caso di intersezioni multiple i due grafici sarebbero molti
"vicini" e le intersezioni numericamente sensibili all'errore e
fisicamente o instabili o pseudostabili.

> Ora, in un RECIPIENTE, si versano sostanze capaci di mettersi in
> multiequilibrio.
>
> Ciascuna REAZIONE sarà caratterizzata dal suo bravo polinomio, di grado
> diverso, con esponenti e costanti iniziali diverse/eguali in parte e per
> caso.
>
> Abbiamo quindi un generico sistema (fisico) rappresentato da un certo
> numero enne di equazioni polinomiali, di grado qualsiasi, tante quante
> le enne reazioni (non tante quante i composti). Ogni polinomiale è in
> una variabile distinta. Per cui enne variabili ed enne equazioni (non
> lineari).

Ecco, qui le mie conoscenze-competenze-abilità si fanno labili: potresti
tentare di spiegare meglio la genesi di questi polinomi, cosa significano
variabili e coefficienti, magari con qualche esempio non troppo complesso?

> Ebbene, non so se un tale sistema debba avere una sola soluzione (ne
> avevamo discusso tempo fa con Tetis, che riteneva che potessero
> esisterne anche più d'una).
> Per soluzione intendo una "ennupla" di valori delle incognite tali da
> soddisfare tutte le polinomiali.

Ma se ogni polinomio ha la sua incognita, si parla di sistema per modo di
dire: possibile che non esistano altre condizioni che leghino tra loro in
qualche modo le variabili delle diverse equazioni?

> Ma la cosa che mi chiedevo è se esiste qualche ragione matematica,
> qualche teorema che so, che dimostra che quel sistema DEVE
> NECESSARIAMENTE possedere ALMENO una ennupla di soluzioni reali e di
> significato fisico.

Ovviamente no. Almeno se ho capito il problema.

> La ragione FISICA esiste : qualunque mescolanza raggiunge, dopo un tempo
> sufficiente ed eventualmente oscillazioni smorzate per essere generali,
> sempre uno stato di equilibrio.
> Ma matematicamente perché è così ? Perché data la peculiarità di quei
> polinomi, che sono non lineari, si deve sempre poter avere una ennupla
> reale di soluzioni, quando invece ho letto che NON PER FORZA i sistemi
> non lineari garantiscono una soluzione anche quando sono correttamente
> dimensionati (tot incognite, tot equazioni) ?

Probabilmente quei polinomi sono meno generali di come li hai presentati
tu.

> Se poi qualcuno, ma non penso, se no Tetis lo avrebbe già saputo lui,
> pensa di poter dimostrare che debba sempre esistere una sola ennupla, mi
> interessa pure quello.

Manco quello: si possono scrivere facilmente esempi che rispettano le
condizioni che hai posto e che hanno più soluzioni.
Mi viene da pensare però che debba entrarci in qualche modo la stabilità
delle soluzioni, la convergenza del sistema dinamico ecc.
Non è che ci sono delle equazioni differenziali nascoste sotto?

> Ma già mi accontento di sapere come mai ce ne debba essere almeno una.
> Ciao (buon Natale)

Grazie degli auguri e buon anno nuovo, se mi pubblicano in tempo ;-)

--
"Oggi la scienza ha scoperto come asportare il cuore di un uomo [...].
E la propaganda è riuscita in più occasioni ad asportare la mente di
intere nazioni." (Brian Fawcett, Cambogia)
Received on Fri Dec 28 2012 - 20:52:44 CET