Elio Fabri wrote:
(cut)
> Si parla di "superselezione" appunto perche' la condizione e' piu'
> forte: e' limitato l'insieme degli stati e delle osservabili possibili.
Ciao, grazie della precisazione.
Non mi e` chiaro se quanto hai aggiunto tu
faccia parte di una aggiunta di definizione oppure di un teorema.
Mi pare che sia un teorema se preciso meglio la definizione che
ho dato e la tesi che voglio provare.
Intanto quando diciamo che gli operatori
(osservabili) non devono avere elementi di matrice non nulla
tra due settori in cui e` decomposto lo spazio di Hilbert dalla
regola di superselezione, io lo intendo in senso forte: sono i
proiettori della misura spettrale associata ad ogni osservabile che
non devono fare cio`.
Assumendo che i diversi settori devono essere ortogonali a due a due
(mi posso sempre ricondurre a cio` modificando
il prodotto scalare in modo da non alterare la fisica se la decomposizione
in settori non e` ortogonale ma e` diretta), il divieto di avere stati
rappresentati da combinazioni lineari di vettori di settori diversi, implica
che le misure spettrali delle osservabili non abbiano elementi
di matrice non nulli tra settori diversi. E automaticamente
cio` implica che l'evoluzione temporale conserva il settore
di partenza (usando l'operatore Hamiltoniano ed in gruppo
unitario generato).
Dimostrazione riguardo agli elementi di matrice dei proiettori.
Sipponiamo lo spazio di Hilbert si decomponga ortogonalmente come
H = H_1 + H_2 (la presenza di altri settori non altera la prova)
e valga una regola di superselezione rispetto a tale decomposizione:
non sono ammessi stati rappresentati da f = f_1 + f_2 con f_1 in H_1
e f_2 in H_2 entrambi non nulli.
Sia P un proiettore ortognale di qualche misura spettrale
di qualche osservabile A relativo al sottoinsieme dello spettro E.
Supponiamo esista g_1 in H_1 e g_2 in H_2 non
nulli tali che <g_1| P g_2> e` non nullo. In particolare Pg_2
non puo` essere nullo. Questo significa che c`e` probabilita` non nulla
che misurando A sullo stato g_2 il risultato della misura cada in E.
Se cio` accade, dopo la misura lo stato del sistema sara`, a meno di
normalizzazione, P g_2.
Deve essere, data la decomposizione iniziale:
P g_2 = f_1 + f_2 (*)
Allora,
<g_2|Pg_2> = <g_2|f_2> (l' altro addendo e` nullo per ortogonalita`)
il primo membro vale, essendo PP=P e P*=P,
<Pg_2|Pg_2> che e `non nullo come detto sopra.
Quindi f_2 non puo` essere nullo.
Sempre da (*) abbiamo similmente
<g_1|Pg_2> = <g_1|f_1>.
Il primo membro non e` nullo per ipotesi percui anche f_1 e`
non nullo e Pg_2 viola la regola di superselezione.
Ciao, Valter
Received on Sun May 19 2002 - 01:34:23 CEST