Re: Polinomi di Legendre e Laguerre

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Mon, 20 May 2002 00:05:59 +0200

Hermes wrote:

> Preciso che mi interessa sapere come nascono i due polinomi e non lo
> sviluppo dell'equazione di Schrodinger.
> Presumo che la trattazione sia piuttosto lunga, quindi mi accontenterei
> semplicemente di un libro di riferimento o almeno dell'argomento in cui sono
> trattati tali polinomi. Grazie.

Se ti interessa vedere come "nascono" i pol. di Laguerre e Legendre
dalle corrispondenti eq. differenziali a derivate ordinarie che ricavi
utilizzando il metodo di separazioni di variabili sull' eq. di
Schroedinger (ma anche da altre eq. a derivate parziali: Laplace ,
Helmoltz,...) la storia dettagliata e' effettivamente un po' lunga. La
trovi nei testi che riportano la soluzione per serie delle eq.
differenziali lineari del secondo ordine con singolarita' dei
coefficienti del tipo "fuchsiano". Un vecchio testo in italiano e' il
Tricomi (Mi sembra il titolo sia sulle eq. differenziali ma non ne sono
sicuro). Con un po' di tempo potrei cercare qualche riferimento piu'
aggiornato e preciso.

Comunque, in poche parole, l' idea di base e' una variante sul tema
della soluzione per serie di eq. lineari:

Si cerca la soluzione nell' insieme delle funzioni analitiche,
espandibili quindi in serie di Taylor convergente.
Si usa l' equazione come una relazione di ricorrenza tra i coefficienti
della serie. Risolvendo la relazione di ricorrenza si ottengono
esplicitamente i coefficienti e quindi si possono studiare le
caratteristiche analitiche della soluzione (raggio di convergenza,
zeri, ...). Questo meccanismo, nella forma piu' semplice puo' essere
comprese nel caso dell' eq. diff. dell' oscillatore armonico. E' un
semplice esercizio ricavare che l' integrale generale e' dato da ogni
combinazione lineare di due funzioni indipendenti che corrisponono alle
espressioni per serie delle funzioni sin(x) e cos(x).

Le cose si complicano leggermente quando i coefficienti dell' eq.
differenziale hanno delle singolarita' (p. es. eq. di Legendre, di
Laguerre, di Bessel,...). In questo caso il metodo va un po' modificato.
Si dimostra che in genere la singolarita' dei coefficienti puo' indurre
una singolarita' nelle soluzioni. Per una particolare classe di
equazioni e' possibile adattare il metodo di soluzione per serie senza
troppe differenze rispetto al caso non singolare. Tuttavia puo'
succedere (nei casi di Laguerre e Legendre p.es.) che la serie in genere
diverge ma dipende da un parametro che puo' essere fissato in modo da
dar luogo solo ad un numero finito di termini (polinomio). In tali casi
l' integrale generale puo' essere scritto come una combinazione lineare
di una funzione regolare (polinomio) e di una piu' patologica
(divergenze varie).

Mi rendo conto che queste righe non ti saranno di molto aiuto da sole.
Tuttavia se trovi un testo sulle eq. differenziali, puoi usarle come
"mappa" per orizzontarti al di la' delle complicazioni dovute alla
necessita' di rigore.

Giorgio
Received on Mon May 20 2002 - 00:05:59 CEST