Dottor Jekyll wrote:
> Nelle pagg. 60 e 61 del Landau di MQ si ricava l'espressione della
> variazione della matrice densit� r(x, x', t) di un sistema. Ad un certo
> punto c'� scritto : "Il nostro ragionamento pu� essere semplificato se
> osserviamo che l'equazione differenziale lineare cercata per r(x, x', t)
> deve essere soddisfatta anche nel caso particolare in cui il sistema ammetta
> una funzione d'onda, cio� r(x, x', t) = F(x, t) F*(x', t)". Con F(x, t)
> indico la funzione d'onda del sistema. Dopo di ci� con un po' di calcoli
> viene ricavata l'espressione i h dr(x, x', t)/dt = (H - H'*)r(x, x', t) dove
> con d/dt indico la derivazione parziale fatta rispetto al tempo, h costante
> di Planck diviso per (2 pi) e H, H' hamiltoniani agenti su x e x'
> rispettivamente.
> Ma il Landau, con il passo che ho riportato, vuole dire che l'equazione
> ricavata vale anche nel caso in cui il sistema non ammetta una funzione
> d'onda e la ricava per semplicit� nel caso particolare in cui il sistema
> ammette funzione d'onda ? Se si non riesco a capire come l'equazione
> ricavata nel caso di sistema che ammette funzione d'onda si possa estendere
> al caso di sistema che non l'ammette. Se no allora come si ricava
> l'espressione per la variazione della matrice densit� per un sistema che non
> ammette fun. d'onda ? Forse derivando rispetto al tempo l'espressione
> che definisce r(x, x', t) e cio� r(x, x', t) = integr(F(q, x, t) F*(q, x',
> t) dq) ?
Premetto che quello di L-L e` un modo che giudico quasi "bestiale" di
scrivere le cose.
Comunque nella notazione di Landau-Lifsits, il risultato finale vale anche se
la matrice densita` non e` uno stato puro. Questo perche`, in questo caso
generale vale sempre (e` un teorema degli opratori di "classe traccia" positivi).
r(x, x', t) = sommatoria su _i p_i F_i(x, t) F_i*(x', t)
dove i coefficienti p_i sono numeri in [0,1] la cui somma e` 1 e ogni
F_i e` una funzione d'onda normalizzataa 1. Usando la stessa "dimostrazione"
di Landau insieme alla linearita` ottieni immediatamente
una "dimostrazione" del fatto che
i h dr(x, x', t)/dt = (H - H'*)r(x, x', t)
vale anche in questo caso generale.
(Se L-L avesse usato una notazione piu` astratta magari introducendo
un commutatore male non avrebbe fatto :-))
>
> Poi vorrei chiedere alcune altre cose :o) Un sistema ammette funzione d'onda
> se e solo se non scambia energia con l'esterno ? Se invece scambia
> energia con l'esterno allora pu� essere descritto soltanto mediante
> la matrice densit� ?
>
Non proprio, dipende da come prepari lo stato del sistema: se fai
una "misura completa" lo stato in uscita e` puro, e` cioe` una funzione
d'onda. Se prendi vari sistemi *identici* pero` preparati su stati puri
in generale differenti F_1, F_2, ... e "li mischi" in modo tale che
le funzioni d'onda si sovrappongano (in tal modo non puoi piu` distinguere
i vari sistemi in alcun modo) e poi prendi un sistema a caso nel miscuglio
a questo non potrai assegnare piu` una funzione d'onda. Ma solo una
funzione d'onda con una certa probabilita` che sia quella (che dipende
da quanti sistemi del miscuglio avevano quella funzione d'onda), cioe`
assegnerai a ciascun sistema del gruppo una matrice densita`.
La seconda domanda credo che si riferisca alla seguente situazione.
Hai due sistemi S e S' che interagiscono e, proprio a causa dell'interazione
(mi riferisco precisamente all'Hamiltoniano d'interazione), lo stato
del sistema complessivo non e` uno stato fattorizzato nel prodotto
di due funzioni d'onda anche se inizialmente era tale.
Allora lo stato sara` qualcosa del tipo
F = somma su i c_i F_i F'_i
dove F_i e` una funzione d'onda S e F'_i per S'. I c_i sono numeri
complessi. F e` supposto normalizzato.
Posso sempre supporre che le funzioni F'_j siano ortonormali
(se non lo sono le decompongo secondo una base ortonormale e inserisco
la decomposizione nello sviluppo di sopra cambiando i numeri c_i).
Se le funzioni F_i sono state normalizzate (non orto-nromalizzate in generale)
<F|F>=1 equivale a somma_i |c_i|^2 = 1. Assumero` cio` sotto.
Se A e` una grandezza definita per il solo sottosistema S,
il suo valore medio
<F|A|F> = somma su i e j C*_ic_j <F_i| A |F_j> <F'_i|F'_j>
= somma su i |c_i|^2 <F_i| A |F_i>
dove ho usato l'ortonormalita` delle F'_j.
Se definisco la matrice densita` per S, usando le notazioni di L-L,
r(x,y) = somma su i |c_i|^2 F*_i(x)F_i(y)
(si verifica subito che e` proprio una matrice densita`),
il valore medio di A su tale matrice densita` coincide con
<F|A|F>, ti lascio la prova immediata.
(In realta` ci sarebbero un po` di cose da considerare, come
per esempio il fatto che le somme di sopra sono, in generale,
delle serie e non ci si puo` lavorare impunemente come se fossero
somme finite...bisogna aggiungere un po` di ipotesi sul dominio di
A, e usare il fatto che e` un operatore chiuso per poter dire
*davvero* quanto scritto sopra.)
Quindi posso ignorare la presenza di S' e descrivere lo stato
di S tramite una matrice densita` fino a quando considero
grandezze relative al *solo sottosistema S* (La cosa si generalizza
anche ad altre cose che non siano i semplici valori medi, ma dovrei
entrare nei dettagli).
Il risultato ha un'importanza decisiva in meccanica statistica
quantistica.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu May 09 2002 - 09:47:40 CEST