rez wrote:
> On Thu, 25 Apr 2002 12:14:43 +0200, Valter Moretti wrote:
>>
>
> Se si prende una varieta` V_4 qualsiasi questo non va bene.
> Ci si deve riferire alla V_4 considerata nella teoria gravitazionale.
> Essa cioe` deve avere coefficienti della metrica che siano soluzione
> delle equazioni di Einstein (piu` altre condizioni, vedi seguito)
> Per una generica varieta` V_4, riemanniana o ancor peggio a generica
> connessione affine, questo invece generalmente non e` possibile farlo,
> tranne limitarsi a considerazioni locali con lo spazio tangente.
> Quando si parla di spazio vuoto e di assenza di masse (e di energia
> elettromagnetica), di solito si fa capo ad una soluzione del tipo
> stazionario e statico.
Scusa, forse 40 anni fa si faceva capo a soluzioni stazionarie e
statiche. Oggi la staticita` delle soluzioni delle equazioni di
Einstein non e` mica richiesta automaticamente. Esistono
miriade di famiglie di soluzioni che della staticita` se ne
impippano :-)
In ogni caso, se richiedi anche la staticita` (forse basta
la stazionarieta` ) della soluzione allora mi pare che quello
che dici e` vero (Riemann si annulla ovunque se Ricci si annulla
sulle sezioni spaziali).
> O per lo meno cosi` mi sembra che venga fatto (come ho riportato
> nei giorni scorsi per Levi-Civita e Krall), in accordo con l'idea
> che l'ambiente V_4 debba ridursi alla M_4 (solo) nel caso di assenza
> di materia.
Se imponi *solo* la staticita' e` ancora falso: le quazioni di Einstein
di vuoto, in assenza totale di materia non producono come unica soluzione
lo spaziotempo di Minkowski, nemmeno imponendo condizioni di
staticita` e stazionarieta'. Ti ho mostrato un controesempio, te
lo ripeto: spazio tipo Minkowski in cui una delle coordinate spaziali
e` chusa in un cerchio a causa di una identificazione, oppure,
spazio tipo Minkowski in cui le sezioni spaziali sono tori in 3
dimensioni. Queste varieta` sono soluzioni delle equazioni di Einstein
in assenza totatle di materia eppure NON sono lo spazio di Minkowski.
>
> Anche senza addentrarci nei vari casi del problema di Cauchy per
> le equazioni gravitazionali, si puo` pero` vedere di determinare
> la metrica di questo caso -che tra l'altro non e` certo tra i piu`
> importanti- che porta la V_4 ad uno spazio di Minkowski nel caso
> di assenza di masse.
> Le ipotesi che mi risultano sono:
> 1. I coefficienti incogniti della metrica sono indipendenti
> dalla coordinata temporale x_0. Cioe` metrica stazionaria.
> 2. g_0i=0, (i=1,2,3); g_00=c�. Cioe` metrica statica.
>
Devi anche precisare che il sistema di coordinate sia globale
altrimenti hai solo locale staticita` (se prendi l'universo di Kruskal)
puoi vedere che si possono avere varieta` soluzioni delle equazioni
di Einstein nel vuoto che sono statiche solo in una regione ma non ovunque.
> Sotto queste condizioni Levi-Civita, come avevo gia` accennato
> l'altro giorno, cita anche una dimostrazione del Serini al riguardo
> della euclideita` (pseudo) cui si riduce la V_4; ma non la riporta.
> Addirittura in un universo statico e privo di materia la metrica
> minkowskiana mi sembra che si dimostri essere l'unica soluzione del
> problema di Cauchy, almeno nell'ipotesi di tipo asintotico che cioe`
> all'infinito lo spazio tempo sia piatto.
>
>
Vabbe` scusa, ma ora hai aggiunto una caterva di condizioni per niente
banali in particolare quest'ultima di asintotica piattezza.
Se avessi precisato tutte queste condizioni dall'inizio avremmo evitato
di discutere.
Credo che sia vero che se metti staticita`*globale* + asintotica piattezza,
allora ottieni solo Minkowski in assenza di materia. Non ho mai visto
la dimostrazione, ma non mi vengono im mente controesempi banali.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Mon Apr 29 2002 - 09:44:39 CEST