Dottor Jekyll wrote:
...
> Si prenda un atomo A qualsiasi fra gli atomi del cristallo, per questo
> atomo si ha che la sua vibrazione, in quell'istante t_1, pu� essere pensata
> come la composizione di tre vibrazioni secondo tre direzioni fra di loro
> ortogonali, ed ognuna di queste tre vibrazioni sar� caratterizzata da delle
> pulsazioni omega. In generale di queste pulsazioni possibili c'� ne sono
> 3N che si possono ricavare dall'espressione dell'energia potenziale degli
> ioni nel cristallo. Poi ad una vibrazione si pu� associare un'energia data
> da (h omega) dove h = costante di Planck / 2 pi. Secondo la mia idea
> (sicuramente sbagliata) :-( io direi che nella regione dove � l'atomo
> A ci sono, in quell'istante t_1, tre fononi caratterizzati da
> certi valori dell'energia.
...
No, stai facendo un errore concettuale che rischia di portarti
completamente fuori strada.
Quando dici che associ ad una vibrazione un' energia h omega fai capire
che per te la vibrazione e' caratterizzata da un unica frequenza (cioe'
corrisponde ad un moto armonico puro). Questo e' in contraddizione con
quello che scrivi poche righe prima e cioe' che le vibrazioni sono
caratterizzate da 3N pulsazioni omega (ma in genere gli omega sono
diversi tra loro!).
Io ti suggerirei di partire da una buona comprensione dei modi normali
classici, prima di passare al problema dei fononi.
Lasciamo percio' stare le "vibrazioni" e parliamo di moto degli atomi e
di modi normali.
Se, come si fa normalmente nella fisica dello stato solido, parto da un
sistema 3-dimensionale di N atomi che interagiscono armonicamente con
condizioni periodiche al contorno si puo' mostrare che (purche' gli
atomi oscillino attorno a posizioni di equilibrio stabile) qualsiasi
moto di ogni singolo atomo (ovvero qualsiasi siano le condizioni
iniziali) puo' essere scritto come una sovrapposizione lineare di 3N
moti armonici semplici (N per ogni direzione).
In sostanza, si parte da un problema di atomi interagenti e si fa vedere
che esistono 3N combinazioni lineari delle 3N coordinate tali che l'
equazione del moto per ciascuna di queste combinazioni e' quella di un
oscillatore armonico 1-dim con opportuna frequenza.
Se adesso interpretiamo queste combinazioni lineari come nuove
"coordinate" cinematiche, ci accorgiamo che siamo passati dalla
descrizione di un problema di oscillatori interagenti tra di loro (gli
atomi) a un problema di nuovi oscillatori tutti tra loro indipendenti
(non-interagenti). Questi nuovi oscillatori (i modi normali) sono pero'
un po' meno "intuitivi" degli atomi di partenza. In particolare i nuovi
gradi di liberta' non corrispondono piu' ad oggetti localizzati: un modo
normale corrisponde al movimento simultaneo di N atomi, tutti oscillano
con la stessa frequenza ma con fase dipendente dal punto.
Questo significa che non possiamo avere oscillazioni localizzate ? No,
solo che non possiamo descrivere oscillazioni localizzate usando un solo
modo normale. Sovrapponendo piu' modi normali possiamo avere movimenti
localizzati (che evolveranno nel tempo e nello spazio).
Il tutto e' in stretta analogia con la possibilita' di rappresentare una
qualsiasi onda mediante sovrapposizione di onde piane. Questa
rappresentazione facilita l' analisi ma non implica che tutte le onde
siano onde piane.
Cosi', un esercizio che ti consiglio vivamente per orizzontarti in
questo problema e' di partire dalla soluzione di un problema semplice
(p.es. la catena lineare monoatomica con condizioni periodiche) per il
quale hai a disposizione tutte le informazioni rilevanti. E poi prova a
decidere tu una condizione iniziale (p.es. un solo atomo viene spostato
dalla posizione di equilibrio a t=0, oppure due, oppure uno viene
colpito da un proiettile == e' il solo ad avere velocita' non nulla a
t=0) e a vedere quali e quanti modi normali ti servono per descrivere
quel particlare moto classico.
Capito questo, l' introduzione della MQ implica che ogni modo normale
viene considerato un oscillatore armonico quantistico. Formalmente la
cosa e' semplice. Dal punto di vista "intuitivo" un po' meno perche'
comunque l' oggetto che si tratta quantisticamente non e' una particella
ma un moto collettivo di particelle. Tuttavia la linearita' delle
equazioni ti garantisca anche in MQ la possibilita' di costruire stati
(non piu' autostati dell' energia) costituiti dalla sovrapposizione di
piu' modi normali quantizzati.
Ci sono varie cose che si potrebbero aggiungere a questo punto ma per
ora mi fermerei qui (anche per mancanza di tempo) e fammi sapere se c'e'
qualcosa che non ti torna in quanto detto prima.
Solo un paio di commenti addizionali:
>... Insomma io mi
> immagino un fonone un po' come una lacuna. nel caso delle lacuna si ha "un
> buco" che se ne va in giro, mentre nel caso del fonone si avrebbe "un atto
> di moto vibrazionale" che se ne va in giro per il cristallo.
Perche' complicarti la vita con l' analogia fonone/lacuna. Mi sembra
piu' semplice e diretta
quella fonone/onda in un fluido. L' onda, per dirla con le tue parole,
e' qualcosa che se ne va in giro basandosi sul movimento delle
particelle di fluido ma non e' rappresentata dal moto dei singoli atomi.
...
> Da quello che hai detto posso dire meglio quello che intendevo : Esistono
> particolari propriet� / questioni dei cristalli tali che studiandole senza
> considerare le interazioni fra fononi si commette un grande errore ?
> Io penso che cmq se si trascurano le interazioni fra fononi non si commette
> un grande errore perch� gli atomi oscillano poco intorno alle loro posizioni
> di equilibrio, anche in prossimit� della fusione del cristallo.
Beh, una cosa che non viene proprio, trascurando le interazioni tra
fononi (alias effetti anarmonici), e' l' espansione termica. Un
cristallo armonico non ha un meccanismo per far aumentare la distanza di
equilibrio tra gli atomi al crescere dell' ampiezza media delle
oscillazioni.
Per ora chiudo qui.
Giorgio
Received on Mon Apr 22 2002 - 15:36:55 CEST
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