Re: equazioni alla differenza

From: Dottor Jekyll <redlion5_at_jumpy.it>
Date: Tue, 23 Apr 2002 22:24:09 +0200

spaghetti <spag79*R*E*M*_at_libero.it> wrote

> Non ricordo di aver mai sentito parlare di equazioni alla differenza ed
> ovviamente ... mi si sono presentate nello studio dei sistemi tempo
> discreti!
> C'� qualcuno che pazientemente mi possa spiegare il loro ruolo?

Le equazioni alle differenze sono, per cos� dire, la "versione discreta"
delle equazioni differenziali. Si incontrano, come dici tu, nello studio dei
sistemi tempo discreti ma anche nella soluzione numerica delle equazioni
differenziali. Ce ne sono di molti tipi e ce ne sono anche lineari, come per
le equazione differenziali. Nel caso delle equazioni differenziali si deve
determinare una funzione incognita y(x) della quale nell'equazione compaiono
le sue derivate fino ad un certo ordine, nelle equazioni alle differenze si
deve invece determinare una certa successione numerica incognita y_n di cui
nell'equazione possono comparire termini y_n, y_(n+1), y_(n+2), ecc.
L'analogia con le equazioni differenziali sta nel fatto che dove nelle
equadiff compaiono derivate (di ordine k ) D^k(y(x)) di una certa funzione
y(x), nelle equazioni alle differenze ci sono valutazioni della successione
y_n fatta k passi in avanti cio� y_(n+k). Mi spiego meglio : Una generica
equazione differenziale in forma normale di ordine r pu� essere scritta come
F(x, y(x), D(y(x)), D^2(y(x)), ..., D^r(y(x))) = 0 mentre una generica
equazione alle differenze di ordine r si scrive nella forma F(n, y_n,
y_(n+1), y_(n+2), ..., y_(n+r)) = 0.

Nello studio delle equazioni alle differenze compaiono poi molti fatti
analoghi allo studio delle equazioni differenziali. Per esempio se si
considera una equazione alle differenze lineare di ordine r
(*) y_(n+r) + p_1(n)y_(n+r-1) + ... + p_(r-1)y(n+1) + p_r(n)y_n = f(n) e si
considera l'omogenea associata, cio� quella che si ottiene ponendo
nell'ultima equazione scritta f(n) = 0, si pu� provare che se certe
successioni sono soluzioni dell'omogenea allora lo � anche qualsiasi
combinazione lineare di queste, come per le equazioni differenziali lineari.
Poi alle r soluzioni dell'omogenea si pu� associare un determinante, analogo
al Wronschiano per le equadiff lineari, che si chiama determinante di
Casorati

Con questo determinante K(n) di Casorati si pu� provare, per esempio, che se
si hanno r soluzioni dell'equazione alle differenze omogenea allora
condizione necessaria e sufficiente perch� esse siano linearmente
indipendenti � che sia K(n) diverso da zero per n = 0, 1, 2, ...
La soluzione generale dell'equazione alle differenze lineare si pu�
esprimere come somma della soluzione della omogenea associata ed una
soluzione particolare della (*) che pu� essere determinata con metodi
analoghi ai noti metodi del nucleo di Cauchy per le equadiff lineari. Come
caso particolare ci sono le poi le equazioni alle differenze a coefficienti
costanti

In pratica se si ha una certa successione numerica y_n definita per
ricorrenza allora di questa si pu� ricavare l'espressione esplicita y_n =
g(n) risolvendo una opportuna equazione alle differenze. Ci� si riesce fare
sempre per le equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti,
mentre le cose si possono complicano parecchio negli altri casi, come per le
equadiff.

Ciao, DJ
Received on Tue Apr 23 2002 - 22:24:09 CEST