Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it> wrote :
> Quando dici che associ ad una vibrazione un' energia h omega fai capire
> che per te la vibrazione e' caratterizzata da un unica frequenza (cioe'
> corrisponde ad un moto armonico puro). Questo e' in contraddizione con
> quello che scrivi poche righe prima e cioe' che le vibrazioni sono
> caratterizzate da 3N pulsazioni omega (ma in genere gli omega sono
> diversi tra loro!).
Prima di tutto grazie per la chiara spiegazione. Hai ragione :o) Quando l'ho
scritto prima, per la verit� qualcosa mi diceva che stavo sbagliando. Quindi
il ragionamento corretto a questo punto credo che sia : Se si ripete il mio
esperimento ideale di prima e si fa una "fotografia" ad un certo istante t_1
e poi ad un altro istante t_2 e cos� via (magari si fa un filmino :o)) dello
stato di "vibrazione" degli atomi (ioni) di un cristallo, in realt� si
vedrebbe che ogni atomo sta vibrando in un modo complicatissimo perch� la
sua "vibrazione" (fino a che � piccola) pu� essere descritta bene dalla
sovrapposizione (lineare) delle oscillazioni di 3N oscillatori armonici che
hanno rispettivamente certe pulsazioni che si possono ricavare una volta che
� nota l'espressione dell'energia potenziale degli ioni del cristallo.
Facendo una opportuna trasformazione lineare (applicazione lineare) si
possono sostituire le vecchie 3N coordinate X_i con delle nuove coordinate
Q_i in modo che nelle nuove coordinate si abbiano 3N oscillatori armonici
fra di loro *non* interagenti (oscillatori normali). Quindi una coordinata
Q_i si pu� esprimere come combinazione lineare delle X_i e si pu� fare anche
il viceversa dato che l'applicazione lineare � invertibile.
Gli ioni sono sottoposti a delle forze coulombiane da parte di tutto il
resto del cristallo. Si pu� ricavare in linea di principi� l'espressione
dell'energia potenziale V degli ioni che sar� in generale una espressione
complicatissima. Se si fa lo sviluppo in serie di Taylor di V e ci si ferma
ai termini di ordine due allora si ottiene una certa espressione, per
l'energia potenziale, che � la stessa espressione che si otterrebbe se si
collegassero fra loro gli ioni con delle molle di opportuna costante
elastica. Ok ? O anche qui sbaglio ? :o( Quindi fermandosi ai termini di
ordine due nello sviluppo di V si pu� immaginare il cristallo come un
sistema di masse collegate fra loro da molle, se le oscillazioni sono
piccole. Poi con la trasformazione lineare di prima, come dicevo, si pu�
descrivere questo sistema complicato con 3N oscillatori *classici* non
interagenti fra di loro. Per�, fatto fondamentale, se si considera
una oscillazione nelle nuove coordinate Q_i si ha che questa � legata
a *tutte* le oscillazioni nelle vecchie coordinate (quelle "vere") X_i
che descrivono la posizione degli ioni. Si pu� fare come dicevo
anche il viceversa. E fino a qui � un discorso nell'ambito della
Meccanica *Classica* e credo che adesso sia corretto :o)
Per� i fononi sono oggetti *quantistici*. Si pu� ripetere il ragionamento di
prima. Per i fononi nell'hamiltoniana gli unici termini di energia che si
considerano sono quelli dell'energia cinetica degli ioni e quello di energia
potenziale V che � la stessa del caso classico. Anche qui scrivendo
l'hamiltoniana nelle coordinate X_i si ottiene una hamiltoniana molto
complessa. Come prima si pu� fare una trasformazione di coordinate, passando
alle Q_i, e si pu� fare lo sviluppo di V fino ai termini di ordine due. Cos�
facendo si scopre che si ottengono 3N hamiltoniane disaccoppiate di 3N
oscillatori normali (nelle nuove coordinate Q_i) e quantistici ovviamente.
Mediante alcuni passaggi matematici si ricavano le autofunzioni e lo
spettro di energia, per ogni oscillatore quantistico, che ha l'espressione
E = (m + 1/2) h omega_n, n = 1, 2, 3, ..., 3N ed m � un numero quantico che
pu� assumere alcuni valori che dipendono dalle condizioni al contorno.
Adesso viene il punto delicato ... ossia l'introduzione dei *fononi* come
oggetti quantistici quali sono, e sicuramente avr� qualche altra idea
contorta :o( anche perch� c'� un altro punto che non ho compreso bene
:o( . Come si vede grazie alle nuove coordinate Q_i sia gli oscillatori
classici che quelli quantistici non interagiscono fra di loro. Sulla
mia dispensa di fisica dei solidi c'� questa frase che mi manda in
crisi : "Le oscillazioni normali sono caratterizzate, relativamente allo
spettro energetico, dalle frequenze omega_n che formano un ensemble di
elementi distinguibili per il quale la distribuzione di Gibbs, trascurando
le interazioni tra modi normali, da luogo alla distribuzione di Boltzmann"
Il fatto che non comprendo � che mi pare si parli di distribuzione di Gibbs
applicata alle oscillazioni normali, che non sono particelle, mentre sulla
stessa dispensa in precedenza era stata ricavata questa distribuzione per
particelle debolmente interagenti.
Io l'avrei interpretata in questo modo e non so se ho capito bene (anzi
sicuramente ho capito male) : Gli
oscillatori normali non interagiscono fra di loro se si fa l'approssimazione
armonica, come detto anche prima, oppure comunque si pu� ritenere che
interagiscono veramente poco fra di loro. Si pu� quindi pensare che questi
oscillatori normali descrivano il moto di ipotetiche particelle che non
interagiscono fra di loro oppure che interagiscono poco fra di loro. A
questo punto se si considera una di queste particelle essa pu� essere
pensata
come un sistema debolmente interagente con le altre particelle. *Se si fissa
m* allora si pu� dire che la probabilit� di una particella di avere energia
E = E_m(omega_n) = (m + 1/2) h omega_n � data da exp(-E / KT) in accordo con
la distribuzione di Bolzmann. Poi da questa espressione *se si fissa n* si
pu� ricavare <m> = 1/ (exp( -E / KT) - 1) e <E> = (<m> + 1/2) h omega_n.
Per� tutto quest'ultimo ragionamento *non* mi convince affatto, ma � l'unica
conclusione a cui sono giunto dopo giorni che penso (intensamente) a questa
cosa dopo aver fatto tantissimi tentativi diversi :o( Se avessi capito anche
quest'ultimo fatto potrei dire di aver capito i fononi :o) in quanto se
riuscissi a capire bene del perch� si ottiene questa espressione di <m>
si potrebbe allora dire : La <E> si pu� interpretare come l'energia media di
una certa distribuzione di particelle tale che <m> � il numero medio di
particelle che hanno energia h omega_n. Inoltre la distribuzione statistica
di queste particelle � data da <m>. Queste particelle si chiamano *fononi*
(evviva). Lo spettro energetico dei fononi sarebbe dato da h omega_n al
variare di n cio� n = 1, 2, 3, ..., 3N che � diverso dallo spettro
energetico delle oscillazioni normali che invece � E = E_m(omega_n) = (m +
1/2) h omega_n. Cio� lo spettro delle oscillazioni normali � equispaziato
mentre quello dei fononi no. Se poi si volessero contare questi fononi si
potrebbe fare somma(n = 1, 3N)(<m>). Cio� in sostanza si sarebbero
introdotte queste quasi particelle con considerazioni statistiche, ossia
interpretando in modo opportuno le espressioni di <E> ed <m> come dicevo
prima.
Grazie ancora, Ciao :o)
Received on Tue Apr 23 2002 - 19:38:01 CEST