Misurare la velocita' in RG

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 24 Apr 2002 20:07:18 +0200

In it.scienza, nel thread "Re: dove sbaglio (anabeta)" extrabyte ha
scritto:
> Come misureresti allora la velocit� di una particella in uno spazio-tempo
> curvo, ad es. con metrica di Schwarzschild??
Per cominciare, non basta assegnare la metrica per poter misurare una
velocita'.
Una velocita' e' sempre _rispetto a qualcosa_: quindi occorre dare un
sistema di riferimento (che non e' affatto la stessa cosa di un sistema
di coordinate).
Per semplicita', assumiamo che si voglia misurare una velocita' rispetto
a un rif. "fermo"; cosa che ha senso, trattandosi di una metrica
statica.
Quindi il rif. rispetto al quale misureremo la velocita' e' situato a
certe coordinate spaziali assegnate: r0, ecc. Sempre per semplicita',
studiamo solo moti radiali, per cui solo la coordinata r ha interesse.
Il corpo di cui si vuole misurare la velocita' avra' una legge oraria,
espressa per es. (e' solo una delle possibilita') mediante una funzione
r=f(t).

Allora la risposta e' semplice (uso unita' in cui c=1, G=1):
1. A un intervallo dt della coordinata temporale corrisponde un tempo
proprio dell'orologio del riferimento fermo pari a d\tau =
(1-2M/r0)^{1/2} dt.
2. Nello stesso intervallo dt, il corpo mobile, che si trova a passare
in r=r0 al "tempo" t=t0, varia la sua coord. r di dr = f'(t0) dt.
3. Lo spostamento corrispondente, misurato con un metro campione, e' ds
= (1-2M/r0)^{-1/2} dr.
4. Ne segue v = ds/d\tau = (1-2M/r0)^{-1} dr/dt = (1-2M/r0)^{-1}
f'(t0).

In particolare, nel caso della luce, *deve* essere v=1, quindi f'(t) =
1-2M/r da cui si ricava la legge oraria f(t) della luce.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Wed Apr 24 2002 - 20:07:18 CEST