Ciao,
gli operatori autoaggiunti sono i soli ad avere una base completa di
autovettori ortonormali a cui corrispondano autovalori reali. Non e'
sufficiente che un operatore sia Hermitiano perche' cio' sia vero.
Non ho mai capito profondamente le ragioni matematiche per cui vale
questo teorema. Ad ogni modo spiego quello che ho capito.
Un operatore Hermitiano non e' necessariamente "densamente definito";
i.e. il suo insieme di definizione non e' denso nello spazio di Hilbert.
Ne segue (credo) che esiste un vettore per il quale l'operatore non e'
definito e che e' ortogonale a tutti i vettori per cui l'operatore e'
definito; quindi questo vettore e' perpendicolare a tutti gli
autovettori dell'operatore.
Se faccio una misura, per avere le probabilita' di ottenere i vari
risultati
devo proiettare il vettore dello spazio di Hilbert sugli autovettori
dell'operatore considerato, ma se sono nel vettore perpendicolare a
tutti gli autovettori trovo che la probabilita' di ottenere un qualunque
risultato e' zero; questo non ha senso fisico, quindi non si puo'
semplicemente dire che un operatore deve essere Hermitiano perche'
rappresenti una grandezza fisica.
Per concludere, se un operatore Hermitiano T e' densamente definito,
allora e' "simmetrico": ammette l'aggiunto (chiamiamolo T*); T* coincide
con T per i vettori per cui T e' definito, pero' T* potrebbe avere un
dominio piu' grande del dominio di T. Se anche i domini coincidono,
allora T e' "autoaggiunto" e puo' rappresentare una grandezza fisica
(non so se poi tale grandezza esista per forza!). Se non coincidono (se
il dominio di T* e' piu' gande del dominio di T) puo' esistere
un'estensione di T, T', tale che T' coincida con T'* (il suo aggiunto),
o puo' non esistere.
Mi piacerebbe vedere un esempio di operatore simmetrico non autoggiunto
ma con estensione autoaggiunta: non mi viene in mente niente.
Ciao, Giovanni
Received on Sun Mar 17 2002 - 19:12:27 CET
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