Re: Nuntio vobis gaudium magnum!

From: laboratory <fermioni_at_libero.it>
Date: Sun, 30 Dec 2012 10:02:27 -0800 (PST)

Il giorno sabato 29 dicembre 2012 21:07:53 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:























> Il "gaudium" deriva dal fatto che sono finalmente arrivato in fondo a un conto che mi stava impegnando da (troppo) tempo. Del problema avevo gi� parlato in un thread del 5, intitolato "Mi aiutate a risolvere un dubbio?" dove chiedevo lumi su un punto particolare. Su quel punto non ho avuto molte risposte, esattamente due: - una privata da Paolo Bellia, che per� non � stata risolutiva - un'altra da Vic Damone, che mi suggeriva di chiedere a Jackson... Comunque il dubbio su quel punto � superato: mi sono convinto che i termini ci vogliono entrambi. Anche per le ragioni che vedrete fra poco. Per chi non lo ricordasse, riassumo il problema. Mi ero chiesto se per la radiazione emessa da un sistema di cariche e correnti, lo sviluppo in multipoli equivalga a quello in serie di potenze del rapporto beta = wa/c (w frequenza, a dimensione tipica del sistema). Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2, formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe affermativa, mentre seco
ndo il Jackson, che tratta il problema molto pi� a fondo, si direbbe il contrario. Per risolverlo, avevo deciso di calcolare /senza approssimazioni/ la radiazione di un oscillatore armonico. In questo caso con a indico l'ampiezza dell'oscillazione, e beta (che ora indicher� con b per brevit�) � la velocit� max divisa per c. Il calcolo esatto non � difficile, e fornisce una formula che non trascrivo, e che sviluppata in serie di b � W = K (b^2 + 3 b^4/4 + 3 b^6/4 + 25 b^8/32 + ...) (*) dove K � una costante che non occorre qui precisare. Il primo termine si verifica coincidere con la ben nota formula della radiazione in appr. di dipolo per piccola ampiezza; ma quelli da studiare erano i termini successivi. Ho quindi sviluppato il calcolo esatto dei vari termini di multipolo (soltanto elettrici, in questo caso) tenendo anche conto che occorre distinguere i contributi alle diverse frequenze. Infatti il dipolo e tutti i multipoli dispari irraggiano sulla fondamentale e su tutte le armoniche dispa
ri, mentre il quadrupolo e tutti i multipoli pari irraggiano sulle armoniche pari. I contributi di ciascun multipolo per ciascuna armonica si sommano incoerentemente nella potenza totale. Seguendo le formule di Jackson, si ottiene il coeff. a_{nl} del multipolo di ordine l per l'armonica n-ma, come serie di potenze in b. (Nel calcolo ho conservato entrambi i termini che appaiono nella [9.168] di Jackson: il fatto che alla fine abbia ottenuto accordo prova a posteriori che i termini soni entrambi necessari). E' quindi possibile confrontare ciascun termine della (*) con quelli che si ottengono sommando i contributi per i diversi n e l. Pi� in dettaglio: - il termine in b^2 proviene da solo a_{11} - il termine in b^4 proviene da a_{11} e a_{22} - il termine in b^6 proviene da a_{11}, a_{22}, a_{31}, a_{13}, a_{33} e qui mi sono fermato. Dopo innumerevoli errori di calcolo, sono riuscito a ottenere perfetto accordo con la (*) e quindi posso trarre la seguente conclusione: Lo sviluppo in potenze di b /non corri
sponde/ allo sviluppo in multipoli: ogni termine di multipolo (per una data armonica) � una serie di potenze in b, mentre a ogni termine di dato ordine in b contribuiscono pi� multipoli e pi� armoniche. Se qualcuno fosse interessato a maggiori dettagli e a tutti i calcoli, trover� (per qualche tempo) il file http::/www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/temp/osc-rel.pdf Sicuramente un ottimo modo per passare la sera del 31 :-D -- Elio Fabri

Ciao, ho dato un'occhiata ai calcoli, complimenti.

Secondo me il fatto che non ci sia corrispondenza univoca tra termini di multipolo e espansione in serie � dovuto al fatto che assumi una legge del moto delle cariche lineare.Prova con qualche legge in cui appare il segno "+"
Received on Sun Dec 30 2012 - 19:02:27 CET