Ciao a tutti...Avrei un piccolo problema che ora vi vado ad esporre...
Prima di fare la domanda vera e propria ho bisogno di spiegarvi la
situazione: un disegno sarebbe l'ideale, ma non avendolo mi tocca
annoiarvi con una descrizione del problema. Per chi volesse provare a
leggere subito la domanda, basta andare alla fine del messaggio...
Cominciamo:
Supponete di avere un'elica di una nave, e guardatela da poppa verso
prua (da dietro verso avanti ;-) ). L'elica ha diverse pale, ma a noi
interessa solo una di queste pale. Bene, per semplicit� consideriamo
che la pala, per t=0 si trovi con l'apice in alto. L'elica ruota a
velocit� angolare costante.
Fissiamo un sistema di riferimento inerziale destrorso che abbia asse
CSI verticale, asse ETA verso detsra, e asse ZITA in direzione
longitudinale, cio� da poppa verso prora.
Ora consideriamo una sezione cilindrica, cio� pensiamo di tagliare
questa pala con un cilindro coassiale con l'asse dell'elica. Fuori
dalla superficie laterale resta la zona alta dell'elica e dentro al
cilindro la zona bassa col mozzo e l'asse dell'elica.
Quello che ci interessa � determinare la risultante e il momento
risultante degli sforzi interni in quella determinata sezione
dell'elica.
Per fare questo dimentichiamoci della parte bassa dell'elica e
immaginiamo che ci sia solo la parte alta dell'elica e che questo
pezzo di solido stia ruotando, a velocit� angolare costante, intorno
all'asse dell'elica.
Sulla sezione di pala fissiamo un punto O generico (rispetto al quale
ridurremo i momenti) e in questo punto centriamo un sistema di
riferimento XYZ con X in direzione radiale, Y in direzione tangenziale
e Z parallelo all'asse dell'elica.
Su questo rigido agiscono 2 sistemi di forze:
1) Le forze idrodinamiche che, ridotte rispetto ad O, anno risultate
RH e momento risultante MH (intese come vettori). Queste forze si
suppongono note.
2) Le forze interne, che possiamo chiamare di vincolo, con risultante
RV e momento risultante MV. Queste sono le nostre incognite.
Chiamiamo G il centro di massa ed m la massa del nostro pezzo di
elica.
Ora scriviamo le equazioni cardinali della dinamica.
La prima ci dice che:
RH+RV=m*aG
dove aG � l'accelerazione del centro di massa nel sistema inerziale
CSI,ETA,ZITA. Nota la velocit� angolare costante w, diretta in senso
longitudiale, l'accelerazione di G � nota, e quindi sono note anche le
forze RV, in quanto:
RV=-RH+m*aG=-RH-FC
essendo FC la forza centrifuga.
Bene, fino a qui non ci sono problemi. Il mio problema arriva con la
seconda equazione cardinale, in quanto mi compare un termine che non
mi aspettavo che comparisse.
Vi spiego:
La seconda equazione cardinale la scrivo come:
d(LO)/dt=MV+MH - VO X m*VG
Dove LO � il momento angolare del pezzo di elica rispetto al polo O,
VO � la velocit� di O nel sistema di riferimento inerziale, VG � la
velocit� del centro di massa nel sistema di riferimento inerziale e X
indica il prodotto vettoriale.
Per inciso, essendo VO e VG parallele il secondo temrine si annulla,
ma lasciamolo scritto per ora.
Bene, ora dobbiamo sviluppare un pochino la derivata rispetto al tempo
del momento angolare.
Scrivo il momento angolare come:
LO=IO*w + (G-O) X m*VO
dove G-O � il vettore che va da O a G, w � la velocit� angolare, * �
il prodotto tra matrici, IO � il tensore d'inerzia rispetto al polo O
(il sistema di riferimento in cui calcolare il tensore � un problema
che mi pongo dopo).
Derivando rispetto al tempo ottengo:
d(LO)/dt = d(IO*w)/dt + m*VG X VO + (G-O) X m*d(VO)/dt
Se infilo questo nella seconda equazione cardinale della dinamica
arrivo, semplificando VO X m*VG a:
d(IO*w)/dt + (G-O) X m*d(VO)/dt = MV + MH
Resta da fare un piccolo conto sulla prima derivata.
Se lavoriamo in componenti rispetto al sistema di riferimento solidale
con il rigido, IO � costante e si pu� scrivere che
d(IO*w)/dt = IO*dw/dt + w X (IO*w) = w X (IO*w)
essendo w costante.
Bene, lavorando quindi in componenti rispetto al sistema di
riferimento XYZ solidale con l'elica risulta:
w X (IO*w) + (G-O) X m*d(VO)/dt = MV + MH
Di questa equazione sappiamo tutto tranne MV, quindi possiamo
ricavarci MV come
MV = -MH + w X (IO*w) + (G-O) X m*d(VO)/dt
Bene, facciamo un'ulteriore modifica aggiungendo e togliendo VG dentro
alla derivata di VO. Riscriviamo l'equazione come
MV = -[ MH - w X (IO*w) + (G-O) X m*d(-VG)/dt + (G-O) X m*d(VG-VO)/dt]
ECCOCI ARRIVATI AL MIO PROBLEMA ;-)
Il primo termine � il momento delle forze idrodinamiche rispetto ad O,
e ok...
Il secondo termine � legato all'inerzia del rigido per quanto riguarda
il moto di rotazione, e ok...
Il terzo termine l'ho aggiunto io, e rappresenta il momento della
forza centrifuga rispetto al polo O. E questo � quello che mi
aspettavo...per�...
....quello che non mi aspettavo � il terzo termine, dove compare la
differenza tra le accelerazioni (nel sistema di riferimento inerziale,
ma in componenti rispetto al sistema mobile) del centro di massa e del
polo.
Quell'ultimo termine � quello che mi turba ;-) Sul testo che ho letto
(dove comunque non ci sono i calcoli ma solo il risultato finale in
componenti rispetto a XYZ) non c'� traccia del terzo termine...
Chiedo dunque a voi:
ho forse sbagliato da qualche parte ?
Grazie mille per l'aiuto...e scusate se vi ho annoiato ;-)
Ciao e 73-51 de Tartaruga .
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(C) Tartaruga 1999 ;-)
Received on Mon Feb 11 2002 - 22:40:49 CET