Re: Come sospendere un oggetto tramite due magneti?

From: Paolo Russo <paolrus_at_libero.it>
Date: Wed, 06 Feb 2002 22:12:41 GMT

Intervengo ancora, a costo di annoiare, perche' mi sembra di
notare ancora una certa confusione sull'argomento.

[manavita:]
>Di fatto la forza agente sulle calamite � dobuto alle linee di forza
>di B parallele al tappeto di calamite. Ma le linee escono normali alla
>superficie fino ad una certa distanza.

Dunque, cominciamo.

1) Se hai un tappeto di calamite senza vuoti e infinitamente
esteso, *non* escono linee di forza verticali, ne' oblique,
ne' niente. Non viene prodotto alcun campo ne' sopra ne'
sotto il tappeto. L'avevo gia` spiegato in precedenza. Le
linee di forza verticali uscirebbero se le calamite del
tappeto avessero un polo solo. Provo a rispiegarlo
diversamente: fissa l'attenzione su una delle calamite del
tappeto. Escludi mentalmente tutte le altre: vediamo che
campo produce da sola. Diciamo che ha il polo nord in alto;
dunque dal polo nord della calamita emergono linee di forza
che vanno verso l'alto, ma poi piegano di lato, ridiscendono,
attraversano il tappeto e completano la curva ritornando
verso il polo sud della calamita. Quindi la calamita, da
sola, produce un certo campo verso l'alto subito sopra di
se', ma al tempo stesso "innaffia" con le sue linee di forza
tutto il resto del tappeto, e sono linee di forza dirette
verso il basso. Ora considera l'effetto di tutte le infinite
calamite. Ogni calamita produce un certo campo e indebolisce
un pochino quello di tutte le altre (specie quelle piu'
vicine). Tutte fanno lo stesso. Il risultato finale e` che
tutti i campi si annullano a vicenda. Basta contare le linee
di forza prodotte da ogni singola calamita: quante sono
quelle che, ad una certa quota, vanno verso l'alto? E quante
vanno verso il basso? Ovviamente sempre le stesse, che
curvano e ricadono. Quindi in totale i contributi del flusso
verso l'alto equivalgono a quelli verso il basso: il campo e`
nullo.

2) Se tu riuscissi a creare linee di forza verticali, il che
in effetti e` fattibile solo entro una certa approssimazione,
tale campo non solleverebbe comunque alcunche', tranne forse
i monopoli magnetici, che fino a prova contraria non
esistono. Cio` perche' se metti un magnete in questo campo,
il suo polo nord viene spinto in un verso (diciamo verso
l'alto) e il suo polo sud verso il basso; se le linee di
forza sono parallele (campo omogeneo) le due forze sono
uguali e si annullano perfettamente. Per respingere un
magnete occorre un campo non uniforme. Un'eccellente
approssimazione di un campo magnetico uniforme e`�il campo
magnetico terrestre. Le linee di forza alla nostra latitudine
sono oblique, ma non importa. Ti risulta che una calamita,
nel campo magnetico terrestre, "tiri" verso una certa
direzione? Si allinea, questo si', ma non si sposta. E non
perche' il campo sia debole, esistono magneti molto forti che
lo sentono benissimo e che vengono visibilmente attratti da
campi di intensita` inferiore, ma non uniformi.

3) Se hai un tappeto di calamite non infinitamente esteso, il
campo alla superficie non e` proprio nullo, soprattutto ai
bordi, perche' li' ci sono meno calamite nei dintorni che
"innaffiano" con campi contrari. Esistono al giorno d'oggi
magneti larghi e piatti, ed e` noto che in prossimita` della
superficie il campo e`�piu' forte ai bordi. Tra l'altro, per
realizzare magneti di quella forma occorre un materiale
estremamente resistente alla smagnetizzazione (tipicamente
neodimio-ferro-boro), altrimenti la parte centrale tende a
smagnetizzarsi a causa dell'"innaffiamento" magnetico
contrario prodotto dai bordi. Il campo prodotto da un tappeto
di calamite non infinito non ha una struttura tanto banale,
comunque si puo` dimostrare (teorema di Earnshaw) che non
raggiunge comunque lo scopo.

>Del resto i miei calcoli parlavano chiaro e non mi pareva fossero
>sbagliati. Non mi � chiaro questo teorema di Earnshaw, e non lo
>riconosco.

Il teorema di Earnshaw, in soldoni, dice che la somma di
tanti campi del tipo 1/r^2 (ognuno dei quali e` quindi
rappresentabile tramite linee di forza) e` a sua volta
rappresentabile tramite linee di forza (con un preciso legame
tra densita` delle linee e intensita` del campo, eccetera).
Cio` e` abbastanza familiare a chi traffica con le calamite;
qualunque sia il loro numero e comunque le si disponga, il
campo totale risultante e` rappresentabile in quel modo. Il
discorso continua a valere se, invece dei campi, si sommano
le forze che essi esercitano sul baricentro di un altro sistema
di magneti (quello che si vorrebbe far levitare), e anche se
si include la forza gravitazionale, che e` anch'essa del tipo
1/r^2. La forza totale risultante, in funzione di ogni
possibile punto dello spazio dove si puo` collocare il
baricentro del sistema fluttuante, costituisce un campo
vettoriale che e` anch'esso rappresentabile tramite linee di
forza. Se esistesse un punto di levitazione stabile, la forza
totale in quel punto dovrebbe essere zero. Spostandosi in un
intorno, la forza dovrebbe tendere a ricondurre verso quel
punto. In pratica, in quel punto le linee della forza totale
dovrebbero convergere. Disgraziatamente, questo
e`�impossibile nello spazio vuoto, per la stessa ragione per
cui, per quanto si realizzi un sistema di calamite
complicato, le linee del campo risultante non convergeranno
mai se non sui poli delle calamite (dimostrazioncella per
assurdo: se le linee della forza totale convergessero in un
punto, allora in un intorno arbitrariamente piccolo di quel
punto geometrico la densita` delle linee, e quindi la forza,
sarebbe arbitrariamente alta. Il sistema fluttuante sarebbe
inchiodato nel vuoto, impossibile da spostare di un
millimetro, neanche facendo molta forza, perche' la forza di
richiamo sarebbe infinita. Questa situazione di forza
idealmente illimitata si raggiungerebbe solo se uno dei poli
del sistema fluttuante fosse sovrapposto ad uno dei poli del
sistema esterno).

In sostanza, se disponi i magneti in modo da creare una
collina di potenziale (della forza magnetica totale
esercitata sul sistema fluttuante), il sistema levitante
posto in cima alla collina non e` in equilibrio, scivola di
lato; se invece crei una scodella di potenziale, ottieni la
stabilita` orizzontale, ma purtroppo, dato che la forza e`
sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali, la linee
della forza magnetica convergono al di sopra della scodella;
questo vuol dire che, salendo, la forza diventa piu' forte,
scendendo piu' debole, quindi non c'e` stabilita` verticale.
Tutto questo a prescindere dalla stabilita` rotazionale
(l'anti-ribaltamento), che si puo` ottenere in vari modi.

Ciao
Paolo Russo
Received on Wed Feb 06 2002 - 23:12:41 CET